Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного $F(z)$, регулярная в некоторой бесконечной области $D$ и непрерывная в $\bar{D}$, а также ограниченная на границе $\partial D$ области $D$, или ограничена всюду в $\bar{D}$ или внутри $D$ достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область $D$.

Теорема Фрагмена — Линделёфа о верхней полуплоскости

Пусть функция $F(z)$ регулярна в полуплоскости $Rez>0$ и непрерывна в полуплоскости $Rez⩾0$, причём $\mid F(iy)\mid <C_0$, $-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty }$. Тогда или $\mid F(z)\mid <C_0$ при всех $z$, $Rez⩾0$ или функция $F(z)$ имеет в полуплоскости $Rez⩾0$ порядок $\rho$, не меньший единицы.

Пояснения

Число $\rho$ называется порядком целой функции $F(z)$, если $\rho =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{\ln \ln M_F(r)}{\ln r}$. Иначе говоря, целая функция имеет порядок $\rho$, если для любого $ϵ>0$ существует константа $C_{ϵ}$ и последовательность возрастающих к $\mathrm{\infty }$ положительных чисел $r_k$, такие, что

$\underset{0⩽\phi ⩽2\pi }{\max }\mid F(r{e}^{i\phi })\mid ⩽C_{ϵ}exp(r^{\rho +ϵ})$,

$r>0$,

$\underset{0⩽\phi ⩽2\pi }{\max }\mid F(r_k{e}^{i\phi })\mid ⩾C_{ϵ}exp(r_k^{\rho +ϵ})$,

$k=1,2,$.

Доказательство

Доказательство есть в книге Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга