Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость определяется суммой поступательных, вращательных и удвоенным числом колебательных степеней свободы.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу $\delta Q$, к изменению температуры $dT$, которое при этом произошло $C=\frac{\delta Q}{dT}$ Шаблон:Sfn.

Удельная и молярная теплоёмкость

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества Шаблон:Sfn:

$C_M=\frac{C}{\nu }=\frac{1}{\nu }\frac{\delta Q}{\mathrm{\Delta }T},$

где $\nu =m/M,$ $m$ — масса, $M$ — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)Шаблон:Sfn.

Формула расчёта удельной теплоёмкостиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$c=\frac{C_M}{M}=\frac{\delta Q}{mdT},$

где Шаблон:Math — удельная теплоёмкость, Шаблон:Math — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть $dQ=0$. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть $dT\ne 0$Шаблон:Sfn.

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: $C=\frac{0}{dT}=0$.

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть $dT=0$. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество теплаШаблон:Sfn. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: $C\to \pm \mathrm{\infty }$

Изохорный

В изохорном процессе постоянен объём, то есть $\delta V=0$ и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет видШаблон:Sfn:

$dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.(1)$

А для идеального газа

$dU=\frac{i}{2}\nu R\mathrm{\Delta }T.$

Таким образом,

$C_V=\frac{i}{2}R,$

где $i$ — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

$C_V=\frac{R}{\gamma -1},$

где $\gamma$ — показатель адиабаты, $R$ — газовая постоянная газа.

Изобарный

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как $C_p$. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера $C_p=C_v+R$Шаблон:Sfn. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамикиШаблон:Sfn:

$\delta Q=\mathrm{d}U+\delta A,(2)$.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

$\delta Q=C_p\mathrm{d}T,$

Учитываем, что работа газа равна Шаблон:Sfn:

$\delta A=\mathrm{d}(pV)=nR\mathrm{d}T=p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=p\mathrm{d}V,(V\mathrm{d}p=0)(3)$

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для одного моля газаШаблон:Sfn:

$p\mathrm{d}V=R\mathrm{d}T.(4)$

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

$\delta A=R\mathrm{d}T(5)$

Так как энергия одной молекулы равна $<e>=\frac{i}{2}kT$ (6)Шаблон:Sfn, то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собойШаблон:Sfn:

• для общего случая $C_p=\frac{i+2}{2}R,$
• для одноатомных газов $C_p=\frac{5}{2}R,$ то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами $C_p=\frac{7}{2}R,$ то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами $C_p=4R,$ то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклоняться от теплоёмкости идеального газа. Так, при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температурыШаблон:Sfn.

См. также

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга