Точка Аполлония

Шаблон:Не путать Точка Аполлония $Ap$ — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония $Ap$.

• Точка Аполлония $Ap$ в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Точка Аполлония и окружность Аполлония

• Дан треугольник $ABC.$ Пусть вневписанные окружности треугольника $ABC,$ противоположные вершинам $A,$ $B$ и $C,$ есть соответственно $E_A,$ $E_B,$ $E_C$ (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония $E$ (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника $ABC$ в точках соответственно $E_A,$ $E_B$ и $E_C$ (см. рисунок).

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность $E,$ касающаяся трех данных окружностей $E_A,$ $E_B$ и $E_C$ внешним образом.

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен $\frac{r^2+s^2}{4r},$ где $r$ — радиус вписанной окружности и $s$ — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония $Ap$

• Точка Аполлония $Ap$ или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом:

Пусть $A^{\prime },$ $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ есть точки касания окружности Аполлония $E$ с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые $A{A}^{\prime },$ $B{B}^{\prime }$ и $C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $Ap,$ которую называют точкой Аполлония треугольника $ABC.$

• Ее трилинейные координаты:

$\frac{a(b+c{)}^2}{b+c-a}:\frac{b(c+a{)}^2}{c+a-b}:\frac{c(a+b{)}^2}{a+b-c}=$

$={\sin }^{2}A{\cos }^2(\frac{B}{2}-\frac{C}{2}):{\sin }^{2}B{\cos }^2(\frac{C}{2}-\frac{A}{2}):{\sin }^{2}C{\cos }^2(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}).$

Замечание

На рисунке указанная точка Аполлония $Ap$ изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC,$ опущенных из точек касаний $A^{\prime },$ $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ с соответствующими вневписанными окружностями треугольника $ABC,$ образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей $E_A,$ $E_B$ и $E_C.$ Хотя эта точка $Ap$ лежит в точке пересечения трех отрезков $A{A}^{\prime },$ $B{B}^{\prime }$ и $C{C}^{\prime },$ но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника $ABC$ являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония $Ap$ совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

Свойство

• Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.

См. также

• Точки Аполлония