Транспозиционная матрица

Транспозиционная матрица Tr(X) - это квадратная матрица размера n, равного целой степени 2, каждый элемент Tr(X)ij которой содержит один из элементов {x} заданного вектора X размера n, индекс которого равен единице плюс побитовое сложение по модулю 2 (XOR) номера строки i минус единица и номер столбца j минус единица элемента Tr(X)ij.

Формула

Таким образом, формула, по которой вычисляются элементы матрицы Tr(X), выглядит следующим образом:

$Tr(X{)}_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}$

где $i,j\in [1,n]$ и символом $\oplus$ обозначена битовая операция «сложение по модулю 2.

Например, транспозиционная матрица $Tr(X)$, полученная из вектора:

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\end{array}\right)$

имеет вид:

$Tr(X)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4& |& x_5& x_6& x_7& x_8\\ x_2& x_1& x_4& x_3& |& x_6& x_5& x_8& x_7\\ x_3& x_4& x_1& x_2& |& x_7& x_8& x_5& x_6\\ x_4& x_3& x_2& x_1& |& x_8& x_7& x_6& x_5\\ -& -& -& -& |& -& -& -& -\\ x_5& x_6& x_7& x_8& |& x_1& x_2& x_3& x_4\\ x_6& x_5& x_8& x_7& |& x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_7& x_8& x_5& x_6& |& x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_8& x_7& x_6& x_5& |& x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)$.

Свойство четвёрок

Четвёрки из элементов в $Tr$-матрице — диагональные элементы в них равны

Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит $n/2$ четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если $T{r}_{p,q}$ и $T{r}_{u,q}$ — два случайно выбранных элемента из одного столбца $q$ матрицы $Tr$, то из этого свойства следует, что $Tr$-матрица содержит четвёрку из элементов $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, для которой выполняются уравнения $T{r}_{p,q}=T{r}_{u,v}$ и $T{r}_{u,q}=T{r}_{p,v}$. Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для $Tr$-матриц.

Другие свойства

• Матрица Tr(X) является симметричной матрицей
• Матрица Tr(X) является персимметричной матрицей, то есть она также симметрична относительно своей второй диагонали

Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками

Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы $Tr$ матрицу со взаимно ортогональными строками $Trs$ путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, $p,q,u,v\in [1,n]$. Существует алгоритм построения $Trs$-матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы $Tr$ и $n$-мерной матрицы Адамара $H=(h_{ij})$, строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы $Trs$ взаимно ортогональны:

$Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)$

$Trs.{Trs}^T=\parallel X{\parallel }^2.I_n$

где:

«$\circ$» — произведение Адамара,

$I_n$ — единичная матрица,

$H(R)$ — $n$-мерная матрица Адамара с перестановкой строк $R=[1,r_2,...r_n{]}^T,r_2,...r_n\in [2,n]$, которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;

$X$ — вектор, из которого выводятся элементы $Tr$-матрицы.

Порядок $R$ строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц $Trs$ размеров 2, 4 и 8. Порядок $R$ строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора $X$. Было доказано, что если $X$ — единичный вектор ($\parallel X\parallel =1$), то $det(Trs)=-1$.

Пример получения матрицы Trs

Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками $Trs(X)$ при $n=4$, получается из вектора $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4\end{array}\right)$ по формуле:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& -x_1& x_4& -x_3\\ x_3& -x_4& -x_1& x_2\\ x_4& x_3& -x_2& -x_1\end{array}\right)$,

где $Tr(X)$ — $Tr$ матрица, полученная из вектора $X$, H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы $Trs(X)$ содержит элементы вектора $X$ без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы $Trs$ взаимно ортогональны:

$Trs(X).X=\parallel X{\parallel }^2.[1,0,0,0{]}^T$,

следовательно, матрица $Trs$ вращает вектор $X$, из которого она получена, в направлении оси $x_1$. Порядок $R$ строк матрицы Адамара не зависит от вектора $X$. Опубликованы примеры генерации матриц $Tr$ и $Trs$ для $n=2,4,8$. Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.

Литература

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — Шаблон:М: Мир, 1969 (djvu).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — Шаблон:М: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — Шаблон:М: Наука, 1966 (djvu).
• Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — Шаблон:М: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — Шаблон:М: Наука, 1968. — 432 с.

Ссылки

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html