Трансфинитная последовательность

Трансфинитная последовательность элементов множества $X$ — отображение $a:[0;\alpha )\to X$, где $\alpha$ — некоторый ординал. Ординал $\alpha$ называется длинойШаблон:Sfn или типомШаблон:Sfn трансфинитной последовательности $a$.

Частные случаи:

• трансфинитная последовательность длины $n<\omega$ — конечная последовательность;
• трансфинитная последовательность длины $\omega$ — последовательность в классическом понимании, то есть отображение из множества натуральных чисел.

Множество всех трансфинитных последовательностей элементов множества $X$ длины $\alpha$ обозначается $X^{\alpha }$, длины меньше $\alpha$ — $X^{<\alpha }$, длины меньшей или равной $\alpha$ — $X^{\le \alpha }$.

Для трансфинитных последовательностей аналогично обычным можно определить предел. Пусть $a_{\gamma }$ — последовательность элементов топологического пространства $X$, а её длина $\alpha$ — предельный ординал (ненулевой ординал не имеющий предшественника). Будем считать, что на $[0;\alpha )$ задана порядковая топология. Пределом трансфинитной последовательности называется её обычный топологический предел при стремлении аргумента к $\alpha$.

Шаблон:ЯкорьТрансфинитная класс-последовательность (в широком смысле) элементов класса $X$ — либо обычная трансфинитная последовательность, либо класс-функция $a:\mathrm{Ord}\to X$, где $\mathrm{Ord}$ — класс всех ординалов. В узком смысле класс-последовательность — класс-функция $a:\mathrm{Ord}\to X$. Обычно под термином класс-последовательность имеют в виду именно класс последовательность в узком смысле, поскольку все остальные трансфинитные класс-последовательности являются трансфинитными последовательностями в обычном понимании.

Примеры класс-последовательностей: иерархия алефов, иерархия фон Неймана.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Статья