Трюк Даны Скотта

Трюк Даны Скотта — трюк, позволяющий факторизовать собственный класс в теории множеств Цермело — ФренкеляШаблон:Sfn. При помощи него в ZF можно определить изоморфный тип, в частности мощность множестваШаблон:Sfn. Возможность применения трюка Даны Скотта существенно зависит от аксиомы регулярности.

Суть

Пусть $A$ — некоторый непустой класс, на котором задано отношение-класс эквивалентности $\sim$. Требуется построить в некотором смысле факторкласс, то есть такой класс $A/\sim$, каждому элементу которого будет взаимно однозначно соответствовать класс эквивалентности $A$ по $\sim$.

Взять и просто определить $A/\sim$ как совокупность всех классов эквивалентности $A$ по $\sim$ не получится — какие-то из классов эквивалентности могут оказаться собственными, а собственные классы не могут быть элементами других классов. Поэтому для определения такой конструкции приходится искать обходные пути. Один из таких путей был предложен Даной Скоттом.

Как известно, в ZF все множества полностью описываются иерархией фон Неймана, то есть каждое множество имеет ранг (эта часть полагается на аксиому регулярности). Если в некотором классе взять подкласс всех элементов какого-то определённого ранга — этот подкласс будет множеством. Это следует из двух простых фактов: того, что класс всех множеств определённого ранга образует множество, и того, что пересечение класса и множества — это множество. Такой подкласс (если он непуст) однозначно задаёт класс эквивалентности. В свою очередь если потребовать минимальность ранга, при котором подкласс будет непуст, то такой подкласс будет однозначно задаваться классом эквивалентности. В этом и состоит суть трюка Даны Скотта: замена полного класса эквивалентности его подмножеством, состоящим из элементов, имеющих минимальный ранг.

Более формально, введём обозначение для произвольного непустого класса $B$ обозначение: $\mathrm{minrk}B=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{b\in B}\mathrm{rk}b$. Тогда

Классом эквивалентности Даны Скотта элемента $a\in A$ по отношению $\sim$ назовём множество $[a]=\{x\in a/\sim |\mathrm{rk}x=\mathrm{minrk}a/\sim \}$ (здесь $a/\sim$ обозначает обычный класс эквивалентности);

Факторклассом Даны Скотта класса $A$ по отношению $\sim$ назовём класс $A/\sim =\{[x]|x\in A\}$.

Такое определение удовлетворяет требованию, что каждому элементу факторкласса взаимно однозначно соответствует обычный класс эквивалентности.Шаблон:Sfn

Использование

Мощность множества

Основное применение трюка Даны Скотта — определение мощности множества в ZF. Пусть $A$ — класс всех множеств, $\sim$ — отношение-класс равномощности. Тогда мощность множества $a\in A$ — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению равномощности:

$|a|=\{x\in a/\sim |\mathrm{rk}x=\mathrm{minrk}a/\sim \}$.

При таком определении мощности класс всех кардинальных чисел это факторкласс Даны Скотта $A/\sim$.Шаблон:Sfn

Изоморфный тип

Обобщение предыдущего пункта — определение изоморфного типа. Пусть $A$ — непустой класс каких-нибудь множеств, на которых определено отношение изоморфности $\sim$ (например группы или кольца). Тогда изоморфный тип $a\in A$ — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению изоморфности:

$\mathrm{iso}a=\{x\in a/\sim |\mathrm{rk}x=\mathrm{minrk}a/\sim \}$.

Нетрудно видеть, что это определение есть обобщение определения мощности множеств, так как изоморфность множеств без дополнительной структуры — это их равномощность, а их изоморфный тип — мощность. Более того, определение понятия изоморфного типа позволяет формально говорить о таких вещах как группа с точностью до изоморфизма, кольцо с точностью до изоморфизма и так далее.Шаблон:Sfn

См. также

• Фактормножество
• Мощность множества
• Порядковый тип
• Изоморфный тип

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web