Трёхгранник Френе

Репер Френе и соприкасающаяся плоскость кривой.

Трёхгранник Френе, движущийся по винтовой линии на торе

Базис, репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Определение

Пусть $r(s)$ — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов $\tau$, $\nu$, $\beta$, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой $r(s)$, где

• $\tau =\dot{r}(s)$ — единичный касательный вектор,
• $\nu =\frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||}$ — единичный вектор главной нормали,
• $\beta =[\tau ,\nu ]$ — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.

Свойства

• Если $s$ — естественный параметр $s$ кривой, то векторы $\tau ,\nu ,\beta$ связаны соотношениями:

  $\begin{array}{cc}\dot{\tau }& =k\cdot \nu ,\\ \dot{\nu }& =-k\cdot \tau +t\cdot \beta ,\\ \dot{\beta }& =-t\cdot \nu ,\end{array}$

называемыми формулами Френе. Величины

$k=||\ddot{r}(s)||,t=-⟨\dot{\beta },\nu ⟩$

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.

• Функции $k(s)$ и $t(s),$ определяют кривую с точностью до движения пространства.
  • Более того в случае если $k(s)>0$, такая кривая существует.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору $v=v\tau$. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: $a=\dot{v}\tau +v^{2}k\nu$. Компоненту при векторе $\tau$ называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе $\nu$ называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.

Вариации и обобщения

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть $\gamma (s)$ — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей ${\nu }_o$, таких что двойка $(\tau ,{\nu }_o)$ образуют правый базис в каждой точке $\mathit{\gamma }(s)$. Ориентированной кривизной кривой $\gamma$ в точке $s$ называют число $k_o=⟨\ddot{\gamma }(s),{\nu }_o⟩$. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

$\dot{\tau }=k_o{\nu }_o\dot{{\nu }_o}=-k_o\tau$.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида $k_o=f(s)$ называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.

См. также

• Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.

Литература

• Шаблон:Книга