Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана

Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана квадратичная форма $x^2+y^2+10z^2$ с неотрицательными целыми переменными $x,y,z$, обладающая необычными свойствами.

Свойства формы, открытые Рамануджаном

Рамануджан рассматривал это выражение в примечании к своей статье, опубликованной в 1916 году. Описав необходимые и достаточные условия того, что целое не может быть представлено формой $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2$ для некоторых $a,b,c$, Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут создать впечатление, что существуют столь же простые свойства для форм $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2$ при любых $a,b,c$. Однако представляется, что в большинстве случаев всё не так просто». Чтобы подкрепить это утверждение Рамануджан привёл свойства формы, которая теперь называется его именем.

• Все чётные числа, не представимые формой $x^2+y^2+10z^2$ имеют вид $4^p(16q+6)$.
• Нечётные числа, не представимые формой $x^2+y^2+10z^2$ — Шаблон:Nowrap не описываются простым законом.

Числа больше 391

Многоточие в конце списка означало, что он неполон, но Рамануджан не сказал, считает он список конечным или бесконечным. В 1927 Бёртон и Гордон нашли не представимое число 679 и доказали, что остальные нечётные вплоть до 2000 представимы формой Рамануджана. В 1941 году, Гупта нашёл не представимое число 2719 и доказал, что других таких чисел нет вплоть до 20000. После создания современных компьютеров Голуэй проверил, что не представимых формой Рамануджана нечётных чисел больше нет вплоть до $10^{10}$. Исходя из этого Шаблон:Iw и Сундарараджан предложили гипотезу:

Все нечётные положительные целые не представимые формой $x^2+y^2+10z^2$ это Шаблон:Nowrap.

Известные результаты

Хотя гипотеза Оно полностью не доказана, относительно представимости чисел формой Рамануджана были получены важные новые результаты.

• Все целые вида $10n+5$ представимы.
• Все нечётные не свободные от квадратов представимы.
• Существует только конечное число непредставимых нечётных чисел.
• Если обобщённая гипотеза Римана верна, то верна и гипотеза Оно.