Туннелирование через прямоугольный барьер

Туннели́рование че́рез прямоуго́льный барье́р — квантовомеханический туннельный эффект в ситуации, когда потенциальный барьер $U (x)$ для частицы имеет прямоугольную форму, а именно $U (x) = V =$ const в области туннелирования $0 < x < a$ .

Обычно подразумевается, что по обе стороны барьера $U = 0$ , что полная энергия частицы $E$ связана только с движением в направлении $x$ (нет движения в перпендикулярной плоскости $y z$ ) и что масса частицы $m$ неизменна.

Типичные значения параметров: $V$ — порядка электронвольта, $a$ — несколько нанометров, а туннелирующими частицами являются элементарные частицы (электроны и др.).

При анализе туннелирования ставится задача расчёта вероятности прохождения барьера $T (E)$ при однократном соударении частицы с ним. Прямоугольный барьер возникает как простейшее приближение для реальных барьеров, позволяющее получить несложное аналитическое решение.

Решение

Прохождение волн де Бройля через прямоугольный потенциальный барьер высотой $V_{0}$ и шириной $a$ частицы с энергией $E > V_{0} .$

Частица, описываемая плоской волной, падает на границу барьера справа и частично отражается с амплитудой $r .$ Часть волны проходит через барьер с амплитудой вероятности $t .$ Выражения для волновой функции частицы в трёх областях в одномерном случае:

ψ_{1} (x) = e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x} (x < 0);

ψ_{2} (x) = A e^{k_{2} x} + B e^{- k_{2} x} (0 < x < a);

ψ_{3} (x) = t e^{i k_{1} x} (a < x) .

Здесь предполагается, что волновые вектора:

k_{1} = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}},

k_{2} = \sqrt{\frac{2 m (V - E)}{ℏ^{2}}} .

Так как сами волновые функции на границах барьера и их первые производные не должны иметь разрывов, исходя из этого условия производится сшивка волновых функций и их производных на границах и получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

1 + r = A + B

i k_{1} - i r k_{1} = k_{2} A - k_{2} B

A e^{k_{2} a} + B e^{- k_{2} a} = t e^{i k_{1} a}

k_{2} A e^{k_{2} a} - k_{2} B e^{- k_{2} a} = i k_{1} t e^{i k_{1} a} .

Их решения:

A (1 - i \frac{k_{2}}{k_{1}}) + B (1 + i \frac{k_{2}}{k_{1}}) = 2

A = \frac{t}{2} e^{- k_{2} a} e^{i k_{1} a} (1 + i \frac{k_{1}}{k_{2}})

B = \frac{t}{2} e^{k_{2} a} e^{i k_{1} a} (1 - i \frac{k_{1}}{k_{2}})

t e^{- k_{2} a} (1 + i \frac{k_{1}}{k_{2}}) (1 - i \frac{k_{2}}{k_{1}}) + t e^{k_{2} a} (1 - i \frac{k_{1}}{k_{2}}) (1 + i \frac{k_{2}}{k_{1}}) = 4 e^{- i k_{1} a}

t = \frac{4 e^{- i k_{1} a}}{e^{- k_{2} a} (2 + i (\frac{k_{1}}{k_{2}} - \frac{k_{2}}{k_{1}})) + e^{k_{2} a} (2 - i (\frac{k_{1}}{k_{2}} - \frac{k_{2}}{k_{1}}))}

t = \frac{4 e^{- i k_{1} a}}{4 \cosh k_{2} a - 2 i (\frac{k_{1}}{k_{2}} - \frac{k_{2}}{k_{1}}) \sinh k_{2} a},

откуда следует выражение для коэффициента прохождения:

T = | t |^{2} = t \cdot t^{*} = \frac{1}{\cosh^{2} k_{2} a + \frac{1}{4} {(\frac{k_{1}}{k_{2}} - \frac{k_{2}}{k_{1}})}^{2} \sinh^{2} k_{2} a} = \frac{1}{1 + \frac{(k_{1}^{2} + k_{2}^{2})^{2}}{4 k_{1}^{2} k_{2}^{2}} \sinh^{2} k_{2} a} .

Примечание. В данном контексте можно рассмотреть ситуацию дельтообразного потенциала, описываемого дельта-функцией Дирака, $U (x) = g δ (x) .$ Это предельный случай прямоугольного барьера, стремящегося к бесконечно высокому и одновременно бесконечно узкому потенциалу (причём так, что произведение $V a = g,$ где $g$ — некая константа). Тогда получается $T = (1 + g^{2} \frac{m}{2 ℏ^{2} E})^{- 1} .$

Коэффициент прохождения для прямоугольного туннельного барьера. $V = V_{0} .$

Если энергия частицы выше барьера, то:

k_{2} = \sqrt{\frac{2 m (E - V)}{ℏ^{2}}},

и получим другой результат:

T = \frac{1}{1 + \frac{(k_{1}^{2} - k_{2}^{2})^{2}}{4 k_{1}^{2} k_{2}^{2}} \sin^{2} k_{2} a} .

При $E > V$ коэффициент квантового прохождения в общем случае отличен от единицы, в отличие от классического случая. В этой области энергий имеют место немонотонности $T (E) .$

Литература

Шаблон:Книга

Туннелирование через прямоугольный барьер

Решение

Литература

Навигация

Поиск