Уравнение Рамануджана — Нагеля

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

$2^n-7=x^2,$

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных $n$ и $x$.

Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика Шаблон:Iw.

История

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи: найти все числа Мерсенна $($то есть числа вида $2^b-1)$, которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид $\frac{y(y+1)}{2}$). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

$\begin{array}{cc}& 2^b-1=\frac{y(y+1)}{2}\\ ⟺& 8(2^b-1)=4y(y+1)\\ ⟺& 2^{b+3}-8=4y^2+4y\\ ⟺& 2^{b+3}-7=4y^2+4y+1\\ ⟺& 2^{b+3}-7=(2y+1{)}^2\end{array}$

Выполнив замену $n=b+3;x=2y+1,$ получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу, что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

n	3	4	5	7	15	(Шаблон:OEIS)
x	1	3	5	11	181	(Шаблон:OEIS)

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Шаблон:Iw. В 1948 году другой норвежский математик, Шаблон:Iw, опубликовал доказательство.

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля:

$\frac{y(y+1)}{2}=\frac{(x-1)(x+1)}{8}$

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (Шаблон:OEIS).

Вариации и обобщения

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

$x^2+D=A{B}^n,$

где $D,A,B$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных $x,n$. Зигель доказал:

• количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечноШаблон:Sfn;
• при $A=1,B=2$ уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая $D=7$;
• существует бесконечно много значений $D,$ для которых существуют два решенияШаблон:Sfn, например, $D=2^m-1$.

Пример: $D=119,A=15,B=2.$ Уравнение $x^2+119=15\cdot 2^n,$ имеет шесть решений:

n	3	4	5	6	8	15
x	1	11	19	129	61	701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

$x^2+D=A{y}^n$

где $D,A$ — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных $x,y,n.$ Уравнение названо в честь французского математика Шаблон:Iw, который в 1850 году исследовал уравнение $x^2+1=y^n$ и доказал, что оно имеет только тривиальные решения:

$0^2+1=y^0;0^2+1=1^n;x^2+1=(x^2+1{)}^1$

Из результатов Шори и Тейдемана следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечноШаблон:Sfn. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа с $A=1$ и $1⩽D⩽100$. В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

$y^n-7=x^2$

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. также

• Гипотеза Пиллаи: уравнение $A{x}^n-B{y}^m=C$ всегда имеет только конечное число решений.

Литература

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web