Уравнения Чаплыгина

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связейШаблон:Sfn.

Формулировка

Рассмотрим неголономную систему с $s$ степенями свободы и $d$ неголономными связямиШаблон:Sfn. Обозначим кинетическую энергию системы $T$, потенциальную энергию $\mathrm{\Pi }$. Обобщённые скорости зависимых координат ${\dot{q}}_k=\sum _{m=1}^{s-d}{h}_{km}{\dot{q}}_m+h_k$, где $k=s-d+1,\mathrm{...},s$. Обозначим $T^{\ast }$ кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей ${\dot{q}}_{s-d+1},{\dot{q}}_{s-d+2},\mathrm{...},{\dot{q}}_s$.

Уравнения динамики неголономной системы имеют видШаблон:Sfn

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T^{\ast }}{\partial {\dot{q}}_m}\right)-\frac{\partial T^{\ast }}{\partial q_m}+\sum _{k=s-d+1}^s\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\sum _{r=1}^{s-d}(\frac{\partial h_{kr}}{\partial q_m}-\frac{\partial h_{km}}{\partial q_r}){\dot{q}}_r=-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q_m},$

где $m=1,2,\mathrm{...},s-d.$ В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат ${\dot{q}}_{s-d+1},{\dot{q}}_{s-d+2},\mathrm{...},{\dot{q}}_s$ при помощи уравнений ${\dot{q}}_k=\sum _{m=1}^{s-d}{h}_{km}{\dot{q}}_m+h_k$ и таким образом получить $s-d$ уравнений с $s-d$ неизвестными $q_1,q_2,\mathrm{...},q_{s-d}$, которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связейШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга