Условная вероятность

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления события $A$ при условии, что событие $B$ произошло. Вероятность события $A$, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие $B$ произошло), мы будем обозначать через $P(A|B)$. Например, вероятность того, что у какого-то человека будет кашель в произвольный день, $5\mathrm{\%}$. Но если мы знаем или предполагаем, что у человека простуда, тогда у него гораздо больше шансов начать кашлять. Таким образом, условная вероятность кашля у любого человека при условии, что он простужен, выше $75\mathrm{\%}$.

Очевидный частный случай: $P(A|A)=1=100\mathrm{\%}$ неплохо иллюстрируется шуткой «Интернет-опрос показал, что 100 % респондентов пользуются интернетом».

Условная вероятность является одним из наиболее фундаментальных и одним из наиболее важных понятий теории вероятностей.

Если $P(A|B)=P(A)$, то события $A$ и $B$ называются независимыми, то есть знание об одном из них не влияет на вероятность другого. Кроме того, в общем случае $P(A|B)\ne P(B|A)$. Например, если у вас лихорадка денге (событие $B$), то вероятность получить положительный результат теста на лихорадку (событие $A$) $90\mathrm{\%}$, то есть $P(A|B)=90\mathrm{\%}$. И, наоборот, если вы получили положительный результат теста на лихорадку денге, вероятность того, что она у вас есть всего $15\mathrm{\%}$. В этом случае произошло событие $B$ (наличие лихорадки денге) при условии события $A$ (тест положительный), то есть $P(B|A)=15\mathrm{\%}$. При ошибочном приравнивании двух вероятностей возникают различные заблуждения, такие как ошибка базового процента. Для точного подсчета условной вероятности используют теорему Байеса.

Определение

В соответствии с событием

Определение Колмогорова

Пусть два события $A$ и $B$ принадлежат $\sigma$- полю вероятностного пространства и $P(B)>0$. Условная вероятность $A$ при условии $B$ равняется частному от деления вероятности событий $A$ и $B$ на вероятность $B$:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ как $P(A|B)$ и называем её условной вероятностью $A$ при условии $B$.

Условная вероятность как аксиома вероятности

Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$.

Условная вероятность как вероятность условного события

Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события $A_B$. Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий $A$ и $B$, повторяется. Тогда условная вероятность равна

$P(A_B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},$

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение $P(A_B)=P(A\cap B)/P(B)$является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события $A_{B(n)}.$ Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин $(A_{B(n)}{)}_{n\ge 1},$откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:

$P(\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }\overline{A_B^n}=P(A|B))=100\mathrm{\%}.$

Теоретико-множественное определение

Если $P(B)=0$, то, согласно определению, условная вероятность $P(A|B)$не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).

Например, если $X$и $Y$- невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения $f_{X,Y}(x,y)$ и $B$ имеет положительную меру, то

$P(X\in A\mid Y\in B)=\frac{\underset{y\in B}{\int }\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dxdy}{\underset{y\in B}{\int }\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dxdy}.$

Случай, когда мера $B$ равна нулю, проблематичен. Если $B=\{y_0\}$, то условную вероятность можно попытаться записать в виде

$P(X\in A\mid Y=y_0)=\frac{\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_0)dx}{\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_0)dx},$

однако этот подход приводит к парадоксу Бореля — Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех $\delta y_i$стремящихся к нулю,

$P(X\in A\mid Y\in {\cup }_i[y_i,y_i+\delta y_i])\approxeq \frac{\sum _i\underset{x\in A}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_i)dx\delta y_i}{\sum _i\underset{x\in ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y_i)dx\delta y_i},$

зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.

Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.

В соответствии со случайной величиной

Пусть $X$ — случайная величина, а $A$ — событие. Условная вероятность $A$ при условии $X$ обозначается как случайная величина $P(A|X)$, которая принимает значение

$P(A\mid X=x)$

всякий раз, когда

$X=x.$

Это можно записать более формально

$P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).$

Теперь условная вероятность $P(A|X)$ уже является функцией от $X$: например, если функция $g$ определяется как

$g(x)=P(A\mid X=x),$

тогда

$P(A|X)=g\circ X.$

В частности, $P(A|X)$ задано только почти всюду. В общем случае, $P(A|X)$ корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции $g$ относительно случайной величины $X$. В случае дискретной случайной величины $X$ корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события $X=x$имеют ненулевую вероятность.

Частичная условная вероятность

Частичная условная вероятность $P(A|B_1\equiv b_1\cdots B_m\equiv b_m)$ события $A$ при условии событий $B_i$, произошедших с вероятностью $b_i$не равна $100\mathrm{\%}.$

Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из $n$повторений эксперимента. Такая $n$ — ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события $A$ в серии из $n$проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям $B_i\equiv b_i$, то есть:

$P^n(A|B_1\equiv b_1\cdots B_m\equiv b_m)=E(\overline{A^n}|\overline{B_1^n}=b_1\cdots \overline{B_m^n}=b_m)$

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как

$P(A|B_1\equiv b_1\cdots B_m\equiv b_m)=\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{lim}{P}^n(A|B_1\equiv b_1\cdots B_m\equiv b_m)$, где $b_i,n\in \mathbb{N}$

Примеры

Предположим, что кто-то бросает две честные шестигранные кости, и мы должны предсказать результат.

Пусть $D_1$- значение, выпавшее на первой кости.

Пусть $D_2$ — значение, выпавшее на второй кости.

Какова вероятность того, что $D_1=2$?

В таблице 1 показано вероятностное пространство из $36$ случаев.

Также общее количество исходов равно числу размещений c повторениями $\overline{A_6^2}=6^2=36.$

Ясно, что

$D_1=2$

ровно в

$6$

случаях из

$36$

; таким образом,

$P(D_1=2)=6/36=1/6.$

Таблица 1

+		$D_2$
		1	2	3	4	5	6
$D_1$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Какова вероятность того, что $D_1+D_2\le 5$?

В таблице 2 показано, что

$D_1+D_2\le 5$

ровно для

$10$

из тех же

$36$

результатов, таким образом,

$P(D_1+D_2\le 5)=10/36.$

Таблица 2

+		$D_2$
		1	2	3	4	5	6
$D_1$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Какова вероятность того, что $D_1=2$ при условии, что $D_1+D_2\le 5$?

В таблице 3 показано, что $D_1=2$ при условии, что $D_1+D_2\le 5$ ровно для $3$ из $10$ результатов .

Таким образом, условная вероятность $P(D_1=2|D_1+D_2\le 5)=3/10=0,3.$ Это видно из определения, введенного нами ранее:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{3/36}{10/36}=\frac{3}{10}$

здесь $P(A\cap B)$ — вероятность совместного появления двух зависимых событий, которая вычисляется как

отношение числа благоприятных исходов

$1*3$

(количество размещений двух костей с

$D_2\le 3$

и

$D_1=2$

) к числу всех возможных исходов

$36$

.

Таблица 3

+		$D_2$
		1	2	3	4	5	6
$D_1$	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Независимость событий

События $A$ и $B$ называются независимыми, если

$P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Если $P(B)\ne 0$, то

$P(A|B)=P(A).$

Аналогично, если $P(A)\ne 0$, то

$P(B|A)=P(B).$

Независимые события против взаимоисключающих событий

Как говорилось ранее, независимость событий означает, что

$P(A|B)=P(A)\text{и}P(B|A)=P(B)$

при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то

$P(A|B)=0,P(B|A)=0,\text{и}P(A\cap B)=0.$

Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.

Заблуждения

Вероятность события А при условии B равна вероятности события B при условии А

В общем случае нельзя считать, что $P(A|B)\approx P(B|A).$ Связь между $P(A|B)$ и $P(B|A)$ задается формулой Байеса:

$\begin{array}{cc}P(B|A)& =\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}\iff \frac{P(B|A)}{P(A|B)}=\frac{P(B)}{P(A)}\end{array}$

То есть $P(A|B)\approx P(B|A),$ только если $\frac{P(B)}{P(A)}\approx 1,$ что равносильно $P(A)\approx P(B).$

Предельная вероятность равна условной вероятности

В общем случае нельзя считать, что $P(A)\approx P(A|B).$ Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:

$P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_n)=\sum _{n}P(A|B_n)P(B_n),$

где события $B_n$образуют счетное разбиение $\mathrm{\Omega }$.

Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения, $S_C$является событием, которое происходит вследствие хронической болезни $S$ при обстоятельстве (острое состояние) $C$. Пусть $H$- событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев $C$ не вызывает $S$, поэтому $P(S_C)$ является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если $S$ произошло из-за $C$. Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что $P(S_C)$ высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является $P(S_C|H)$.

Формальное определение

Формально $P(A|B)$ можно задать как новую вероятность на том же вероятностном пространстве, потребовав, чтобы вероятность событий, содержащихся целиком в $B$, изменилась в одно и то же число раз, а события, целиком содержащиеся в не $B$, имеют вероятность $0$.

Пусть $\mathrm{\Omega }$- пространство элементарных исходов $\{\omega \}$. Предположим, что произошло событие $B\subseteq \mathrm{\Omega }$. Новое значение вероятности будет присвоено $\{\omega \}$. Новое распределение для некоторого постоянного коэффициента $\alpha$равно:

$\begin{array}{cc}& \text{1. }\omega \in B:P(\omega |B)=\alpha P(\omega )\\ & \text{2. }\omega \notin B:P(\omega |B)=0\\ & \text{3. }\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}P(\omega |B)=1.\end{array}$

Подставляем 1 и 2 в 3, чтобы выразить α:

$\begin{array}{cc}1& =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}P(\omega |B)=\sum _{\omega \in B}P(\omega |B)+{\xcancel{\sum _{\omega \notin B}P(\omega |B)}}^0=\alpha \sum _{\omega \in B}P(\omega )=\alpha \cdot P(B)\Rightarrow \alpha =\frac{1}{P(B)}\end{array}$

Таким образом, новое распределение равно

$\begin{array}{cc}\text{1. }\omega \in B& :P(\omega |B)=\frac{P(\omega )}{P(B)}\\ \text{2. }\omega \notin B& :P(\omega |B)=0\end{array}$

Теперь для события $A$:

$\begin{array}{cc}P(A|B)& =\sum _{\omega \in A\cap B}P(\omega |B)+{\xcancel{\sum _{\omega \in A\cap B^c}P(\omega |B)}}^0=\sum _{\omega \in A\cap B}\frac{P(\omega )}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\end{array}$

См. также

• Вероятность
• Независимость
• Условное математическое ожидание
• Формула полной вероятности
• Теорема Байеса
• Парадокс Монти Холла
• Задача о двух конвертах