Формула полной вероятности

Шаблон:Нет ссылок Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, и полная группа попарно несовместных событий $\{B_i{\}}_{i=1}^n\subset ℱ$, таких что

1. $\mathrm{\forall }i\mathbb{P}(B_i)>0;$
2. $\mathrm{\forall }j\ne i{B}_i\cap B_j=\varnothing ;$
3. $\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\mathrm{\Omega }.$

Пусть $A\in ℱ$ — интересующее нас событие. Тогда получим:

$\mathbb{P}(A)=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)$.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть $N$ — случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(N=n)=\mathbb{P}(B_n)$.

Тогда

$\mathbb{P}(A)=𝔼[\mathbb{P}(A\mid N)]$,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса