Формула Маграбе

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

Определение

Пусть $S_1(t)$ и $S_2(t)$ — цены двух рискованных активов в момент $t$, каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный $q_i$. Опцион $C$, который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения $T$. Другими словами его выигрыш $C(T)$ составит $\max (0,S_1(T)-S_2(T))$.

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность $\sigma$ их отношения $S_1/S_2$ является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности $S_i$ равны ${\sigma }_i$, то $\sigma =\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2{\sigma }_1{\sigma }_2\rho }$, то $\rho$ — коэффициент корреляции броуновских движений $S_i$.

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

$e^{-q_{1}T}{S}_1(0)N(d_1)-e^{-q_{2}T}{S}_2(0)N(d_2)$

где через $N$ обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

$d_1=\frac{\ln (S_1(0)/S_2(0))+(q_2-q_1+{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$,

$d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$.

Доказательство

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

• Во-первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах $S_2$ (в таких случаях говорят, что $S_2$ используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит $S_1/S_2$ единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
• При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка $q_2$ совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен $\max (0,S_1(T)/S_2(T)-1)$.
• Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка $q_1$ первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
• Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива $S_1(0)/S_2(0)$, процентная ставка $q_2$, волатильность $\sigma$ и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
• Так как окончательная цена опциона выражена в единицах $S_2$, то умножение на $S_2(0)$ переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

См. также

• Формула Блэка-Шоулза
• Формула Блэка

Ссылки

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg

Литература

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978