Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс S_t является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$

где $W_t$ есть броуновское движение, а $\mu$ («параметр сноса») и $\sigma$ («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S₀ данное СДУ имеет решение

$S_t=S_0\exp ((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t),$

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием $𝔼(S_t)=e^{\mu t}{S}_0$ и дисперсией $\mathrm{Var}(S_t)=e^{2\mu t}{S}_0^2(e^{{\sigma }^{2}t}-1).$

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(S_t/S₀) распределена нормально с матожиданием $(\mu -{\sigma }^2/2)t$ и дисперсией ${\sigma }^{2}t$, что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.