Формула поворота Родрига

Формула поворота Родрига — формула, связывающая два вектора с общим началом, один из которых получен поворотом другого на известный угол вокруг оси, проходящей через их общее начало:

${\overrightarrow{R}}_2-\tan (\chi /2)[\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_2]={\overrightarrow{R}}_1+\tan (\chi /2)[\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1]$

где ${\overrightarrow{R}}_1$ — исходный вектор, ${\overrightarrow{R}}_2$ — результирующий вектор, $\overrightarrow{e}$ — единичный вектор оси поворота, $\chi$ — угол поворота. Также формула может быть записана в виде:

${\overrightarrow{R}}_2=(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)(1-\cos \chi )\overrightarrow{e}+(\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1)\sin \chi +{\overrightarrow{R}}_1\cdot \cos \chi$

Лежит в основе векторной теории конечных поворотов и сложения вращений.Шаблон:Нет АИ Получена О. Родригом в 1840 г.Шаблон:Sfn

Вывод

Без потери общности, направим ось $\overrightarrow{z}$ вдоль единичного вектора $\overrightarrow{e}$, а вектор ${\overrightarrow{R}}_1$ — лежащим в плоскости OXZ, тогда:

${\overrightarrow{R}}_{1x}={\overrightarrow{R}}_1-{\overrightarrow{R}}_{1z}$

${\overrightarrow{R}}_{1y}=0$

${\overrightarrow{R}}_{1z}=(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)\overrightarrow{e}$

Откуда:

${\overrightarrow{R}}_{1x}={\overrightarrow{R}}_1-(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)\overrightarrow{e}$

Положим вектор $\overrightarrow{w}$, равный:

$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1$

Заметим, что:

$|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1|=|\overrightarrow{e}||{\overrightarrow{R}}_1|\sin \varphi =|{\overrightarrow{R}}_1|\sin \varphi$

$|{\overrightarrow{R}}_{1x}|=|{\overrightarrow{R}}_1|\cos (\pi /2-\varphi )=|{\overrightarrow{R}}_1|\sin \varphi .$

Тогда вектор ${\overrightarrow{R}}_{2x}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{w}$ и ${\overrightarrow{R}}_{1x}$ и угол $\chi$:

${\overrightarrow{R}}_{2x}={\overrightarrow{R}}_{1x}\cos \chi +\overrightarrow{w}\sin \chi =({\overrightarrow{R}}_1-(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)\overrightarrow{e})\cos \chi +(\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1)\sin \chi$

Результирующий вектор ${\overrightarrow{R}}_2$ выражается через векторы ${\overrightarrow{R}}_{2x}$ и ${\overrightarrow{R}}_{1z}$:

${\overrightarrow{R}}_2={\overrightarrow{R}}_{2x}+{\overrightarrow{R}}_{1z}=({\overrightarrow{R}}_1-(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)\overrightarrow{e})\cos \chi +(\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1)\sin \chi +(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)\overrightarrow{e}$

Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:

${\overrightarrow{R}}_2=(\overrightarrow{e}\cdot {\overrightarrow{R}}_1)(1-\cos \chi )\overrightarrow{e}+(\overrightarrow{e}\times {\overrightarrow{R}}_1)\sin \chi +{\overrightarrow{R}}_1\cdot \cos \chi$

В матричной форме

Векторное умножение на вектор Шаблон:Math можно представить в виде умножения на матрицу Шаблон:Math:

$𝐤\times 𝐯=\left[\begin{array}{c}(𝐤\times 𝐯{)}_x\\ (𝐤\times 𝐯{)}_y\\ (𝐤\times 𝐯{)}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_y{v}_z-k_z{v}_y\\ k_z{v}_x-k_x{v}_z\\ k_x{v}_y-k_y{v}_x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -k_z& k_y\\ k_z& 0& -k_x\\ -k_y& k_x& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right]=𝐊𝐯.$

Вектор Шаблон:Math при повороте вокруг единичного вектора Шаблон:Math перейдет в вектор

${𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=𝐯+(\sin \theta )𝐊𝐯+(1-\cos \theta ){𝐊}^2𝐯=𝐑𝐯,$

где $𝐊(𝐊𝐯)={𝐊}^2𝐯=𝐤\times (𝐤\times 𝐯).$

Таким образом получается, что матрица поворота вокруг единичного вектора Шаблон:Math на угол $\theta$

$𝐑=𝐈+(\sin \theta )𝐊+(1-\cos \theta ){𝐊}^2.$

где

$𝐊=\left[\begin{array}{ccc}0& -k_z& k_y\\ k_z& 0& -k_x\\ -k_y& k_x& 0\end{array}\right].$

Литература

• Шаблон:Книга — С. 101—103.
• Шаблон:Статья