Формула произведения корангов

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Формулировка

Корангом линейного отображения $A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ в прообразе (в образе) называется число $m-r$ (соответственно, $n-r$), где $r$ — ранг отображения $A$. Коранги связаны с размерностью ядра $A$ (обозначим её $i$) формулами: $m-r=i$ и $n-r=n-m+i$.

Пусть $f:M^m\to N^n$ — гладкое отображение гладких многообразий $M^m$ и $N^n$ размерностей $m$ и $n$, соответственно. Символом $f_{\ast x}$ обозначается его производная в точке $x\in M^m$, то есть линейное отображение касательных пространств $f_{\ast x}:T_x{M}^m\to T_{f(x)}{N}^n$.

Точка $x\in M^m$ принадлежит множеству ${\mathrm{\Sigma }}^i,$ $i\ge 0,$ если размерность ядра производной $f_{\ast x}$ в этой точке равна $i$. Множества ${\mathrm{\Sigma }}^0,\dots ,{\mathrm{\Sigma }}^m$ заведомо покрывают всё многообразие $M^m$, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае $n>m$ имеет место неравенство $r\le n<m$, из которого с учетом соотношения $m-r=i$ следует, что $i>0$, то есть множество ${\mathrm{\Sigma }}^0$ пусто).

Шаблон:Рамка Теорема. Для отображения $f:M^m\to N^n$ общего положения все множества ${\mathrm{\Sigma }}^i$ являются гладкими подмногообразиями в $M^m$. При этом имеет место соотношение

$m-\dim {\mathrm{\Sigma }}^i=(m-r)(n-r),$

где $r=m-i$ — ранг отображения $f_{\ast x},$ называемое формулой произведения корангов. Шаблон:Конец рамки

Вычисленное по этой формуле значение $\dim {\mathrm{\Sigma }}^i$ может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество ${\mathrm{\Sigma }}^i$ пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа $(m,n)$ множество матриц ранга $r$ образует гладкое многообразие коразмерности $(m-r)(n-r)$.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.