Формулы Фруллани

Формулы Шаблон:Нп1 относятся к нахождению несобственных интегралов Римана вида:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx$

к которым с помощью элементарных преобразований, дифференцирования и интегрирования по параметру можно свести много других несобственных интегралов.

Формулы Фруллани

Первая формула Фруллани

Если $f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })$ и $\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx$, то справедлива следующая формула:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=f(0)\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Доказательство:

Стоит отметить, что в этом и доказательствах ниже подразумевается $F^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x}$, а не $F^{\prime }(x)=f(x)$.

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx\right)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx-\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\beta x)}{x}dx\right)=$

$=\{\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\infty })-F(A)\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=\underset{\alpha A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\infty })-F(\alpha A)\}$ $=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(F(\mathrm{\infty })-F(\alpha A)-F(\mathrm{\infty })+F(\beta A))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(F(\beta A)-F(\alpha A))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(Ax)}{x}dx\right)=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)$ $=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi )(\ln (\beta )-\ln (\alpha )\left)\right)$ $=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi ))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)=$

$=\{\xi \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}A\xi =0,f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}f(A\xi )=f(0)\}=f(0)\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right).$

Вторая формула Фруллани

Если $f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })$ и $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)<+\mathrm{\infty }$, то справедлива следующая формула:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=(f(0)-f(+\mathrm{\infty }))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Доказательство:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0,\mathrm{\Delta }\to \mathrm{\infty }}(\underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx+\underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx)$$=$

$=\left\{\rho \right(ϵ,A)<\mathrm{\infty },\frac{f(x)}{x}\in C[ϵ,A]\Rightarrow \underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(A)-F(ϵ)\Rightarrow \underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)\}$$=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0,\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)-F(\beta A)+F(\beta ϵ)+\underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx)=$

$=\left\{\rho \right(A,\mathrm{\Delta })<\mathrm{\infty },\frac{f(x)}{x}\in C[A,\mathrm{\Delta }]\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\Delta })-F(A)\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=F(\alpha \mathrm{\Delta })-F(\alpha A)\}=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0,\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)-F(\beta A)+F(\beta ϵ)+F(\alpha \mathrm{\Delta })-F(\alpha A)-F(\beta \mathrm{\Delta })+F(\beta A))=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}(F(\beta ϵ)-F(\alpha ϵ))-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\beta \mathrm{\Delta })-F(\alpha \mathrm{\Delta }))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(ϵx)}{x}dx\right)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(\mathrm{\Delta }x)}{x}dx\right)=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}(f(ϵ\eta )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(f(\mathrm{\Delta }\mu )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)$ $=(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}f(ϵ\eta )-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}f(\mathrm{\Delta }\mu ))(\ln (\beta )-\ln (\alpha ))$ $=$

$=\{\eta ,\mu \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}ϵ\eta =0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }\mu =+\mathrm{\infty },f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty }]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}f(ϵ\eta )=f(0),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}f(\mathrm{\Delta }\mu )=f(+\mathrm{\infty })\}=$

$=(f(0)-f(+\mathrm{\infty }))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right).$

Третья формула Фруллани

Если $f(x)\in C(0,+\mathrm{\infty })$ и $\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{0}{\overset{A}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx$ и $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)<+\mathrm{\infty }$, то справедлива следующая формула:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=f(+\mathrm{\infty })\ln \left(\frac{\alpha }{\beta }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Примеры

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{\sin (\alpha x)}{\alpha x}-\frac{\sin (\beta x)}{\beta x}}{x}dx=\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\alpha x+m)-\sin (\beta x+m)}{x}dx=\sin (m)\cdot \ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (\alpha x+m)-\cos (\beta x+m)}{x}dx=\cos (m)\cdot \ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{m}{n+\alpha x}-\frac{m}{n+\beta x}}{x}dx=\frac{m}{n}\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{arctg(-\alpha x)}{\alpha x}-\frac{arctg(-\beta x)}{\beta x}}{x}dx=\ln \left(\frac{\alpha }{\beta }\right)$

См. также

• Методы интегрирования

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга