Функции Кельвина

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

$x^2\frac{d^{2}f}{d{x}^2}+x\frac{df}{dx}-(i{x}^2+{\nu }^2)f=0$

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

${\mathrm{ber}}_{\nu }(x)=\mathrm{Re}(e^{\frac{i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac{i\pi }{4}}))$

${\mathrm{bei}}_{\nu }(x)=\mathrm{Im}(e^{\frac{i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac{i\pi }{4}}))$

где $I_{\nu }(x)$ — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\frac{\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k$

${\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)={\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\frac{\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]}{k!\mathrm{\Gamma }(n+k+1)}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k$

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом: ${\ker }_{\nu }(x)=\mathrm{Re}(e^{-\frac{i\nu \pi }{2}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac{i\pi }{4}}))$

${\mathrm{kei}}_{\nu }(x)=\mathrm{Im}(e^{-\frac{i\nu \pi }{2}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac{i\pi }{4}}))$

где $K_{\nu }(x)$ — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

${\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)=-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k-\ln \left(\frac{x}{2}\right){\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)-\frac{\pi }{4}{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)+\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\sin \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k-\ln \left(\frac{x}{2}\right){\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}}_n(x)+\frac{\pi }{4}{\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}}_n(x)\\ & +\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n\sum _{k\ge 0}\cos \left[(\frac{3n}{4}+\frac{k}{2})\pi \right]\frac{\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^k\end{array}$

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

${\mathrm{her}}_{\nu }(x)=\mathrm{Re}(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac{3i\pi }{4}}))$

${\mathrm{hei}}_{\nu }(x)=\mathrm{Im}(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac{3i\pi }{4}}))$

где $H_{\nu }^{(1)}(x)$ — функция Ханкеля первого рода.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Кузнецов Д. С. - "Специальные функции" - 1962