Функция Вебера

Шаблон:Перенаправление Функция Вебера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-{\nu }^2)f=-\frac{(z+\nu )+(z-\nu )\cos (\pi z)}{\pi }$

Интегральное выражение функции Вебера:

${𝖤}_{\nu }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (\nu \theta -z\cdot \sin \theta )d\theta$

Соотношение с функцией Ангера:

${𝖤}_{\nu }(z)\cdot \sin (\pi \nu )={𝖩}_{-\nu }(z)-{𝖩}_{\nu }(z)\cdot \cos (\pi \nu )$

Для целых $n⩾0$ функция Вебера связана с функцией Струве соотношениями:

${𝖤}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+\frac{1}{2})\cdot (z/2{)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2}-k)}-{𝖧}_{-n}(z)$

Разложение в степенной ряд:

${𝖤}_{\nu }(z)=\sin \frac{\pi \nu }{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{4^k\mathrm{\Gamma }(k+\frac{\nu }{2}+1)\mathrm{\Gamma }(k-\frac{\nu }{2}+1)}-\cos \frac{\pi \nu }{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{2^{2k+1}\mathrm{\Gamma }(k+\frac{\nu }{2}+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(k-\frac{\nu }{2}+\frac{3}{2})}.$

Литература

• Функция Вебера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Шаблон:MathWorld