Функция Ангера

Функция Ангера

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-{\nu }^2)f=(z-\nu )\frac{\sin (\pi \nu )}{\pi }$

Интегральное выражение функции Ангера:

${𝖩}_{\nu }(z)={𝖩}_{\nu ,0}(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\nu \theta -z\cdot \sin \theta )d\theta$

где ${𝖩}_{\nu ,0}(z)$ — функция Бурже.

При целых $\nu$ функция Ангера совпадает с функцией Бесселя. Поэтому часто при определении функции Бесселя даётся укороченный интеграл, идентичный функции Ангера. На самом деле, при нецелых $\nu$ между ними есть разница:

${𝖩}_{\nu }(z)-J_{\nu }(z)=\frac{\sin \nu \pi }{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\nu \theta -z\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}\theta )d\theta$

Соотношение с функцией Вебера:

${𝖩}_{\nu }(z)\cdot \sin (\pi \nu )={𝖤}_{\nu }(z)\cdot \cos (\pi \nu )-{𝖤}_{-\nu }(z)$

Разложение в степенной ряд:

${𝐉}_{\nu }(z)=\cos \frac{\pi \nu }{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{4^k\mathrm{\Gamma }(k+\frac{\nu }{2}+1)\mathrm{\Gamma }(k-\frac{\nu }{2}+1)}+\sin \frac{\pi \nu }{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{2^{2k+1}\mathrm{\Gamma }(k+\frac{\nu }{2}+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(k-\frac{\nu }{2}+\frac{3}{2})}.$

Литература

• Функция Ангера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Шаблон:MathWorld