Функция Леонтьева

Функция Леонтьева с двумя аргументами. Отмечены изокванты

В экономической теории функция Леонтьева — производственная функция (либо функция полезности), в которой факторы производства использованы в фиксированных пропорциях, поскольку факторы являются абсолютными комплементами. Функция названа в честь американского экономиста российского происхождения Василия Леонтьева. Функция Леонтьева является предельным случаем Функции CES — класса функций, обладающих свойством постоянной эластичности замещения.

В простейшем случае с двумя факторами производства имеем

$q=\text{Min}(\frac{z_1}{a},\frac{z_2}{b})$

где q есть количество продукции, z₁ и z₂ — количество затраченных факторов производства, a и b — определяемые технологией постоянные величины.

Пример применения

Предположим, что есть два фактора производства, «шины» и «рули». Фирма производит четырёхколёсные автомобили. В приведённой выше формуле величина q будет соответствовать количеству выпущенных машин, z₁ и z₂ — количеству использованных в производстве шин и рулей соответственно. Тогда функция Леонтьева принимает вид

Количество машин= Min{¼ от количества шин, 1 от количества рулей}.

Производственная функция

Функция Леонтьева используется в качестве производственной функции в модели Харрода — ДомараШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$Y_t=min(A{K}_t,B{L}_t)$,

где $A$ и $B$ — экзогенные производственные параметры, $K$ — капитал, $L$ — труд.

Производственная функция Леонтьева

Модель Харрода-Домара

Р. Барро и Х. Сала-и-Мартин отмечают, что производственная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями) является частным случаем CES-функцииШаблон:Sfn:

$Y=A\cdot (\alpha K^{\mathrm{\Psi }}+(1-\alpha )L^{\mathrm{\Psi }}{)}^{\frac{\nu }{\mathrm{\Psi }}}$

в случае когда $\mathrm{\Psi }\to -\mathrm{\infty }$ она принимает вид функции Леонтьева:

$Y=F(L,K)=min(AK,BL)$,

где $A>0$ и $B>0$ — константы.

Таким образом, при $AK=BL$ — все работники и машины загружены; при $AK>BL$ — капитал используется в объёме $(B/A)L$, а оставшийся не востребован; при $AK<BL$ — объём труда используется в объеме $(A/B)K$, а остальной остается безработным. Допущение об отсутствии взаимозаменяемости между капиталом и трудом приводит к тому, что существует или бесконечный рост безработицы или простой оборудования.

При подушевом рассмотрении производственная функция имеет видШаблон:Sfn:

$y=min(Ak,B)$,

где $y=Y/L$, $k=K/L$.

При $k<B/A$ капитал полностью используется и $y=Ak$, и кривая производственной функции пересекает ноль и имеет наклон $A$.

При $k>B/A$ капитал постоянен и $Y=BL$, $y=B$. При $k\to \mathrm{\infty }$ предельный продукт $f^{\text{'}}(k)=0$, а значит условие Инады выполнено, производственная функция не генерирует эндогенный рост.

При $k<B/A$ форма кривой сбережения $sf(k)/k$ — прямая на уровне $sA$, а при $k>B/A$ кривая сбережения стремится к нулю при $k\to \mathrm{\infty }$.

Кривая амортизация $(n+\delta )$ имеет форму горизонтальной прямой на уровне $(n+\delta )$.

При низкой ставке сбережения $sA<n+\delta$ кривая сбережения не пересекает кривую амортизации, так что стационарного состояния $k^{*}$ нет, темп прироста капитала отрицателен, экономика сжимается $k,y,c\to \mathrm{\infty }$, в ней постоянно растущая безработица.

При высокой ставке сбережения $sA>n+\delta$ кривая сбережения приближается к нулю при $k\to \mathrm{\infty }$ и пересекает кривую амортизации в точке устойчивого стационарного значения $k^{*}>B/A>$, так что темп прироста капитала отрицателен при $k>k^{*}$, а при $k<k^{*}$ положителен. При $k^{>}*B/A$ простаивает оборудование, часть капитала не востребована и монотонно возрастает, но при этом нет незанятых работников. Так как $k$ — константа в стационарном состоянии, то темп роста $K$ равен темпу роста $L$ и равен $n$. Доля используемого оборудования постоянна, количество невостребованного оборудования растет с темпом $n$. Стационарное состояние, в котором капитал и труд полностью востребованы в производстве, $sA=n+\delta$Шаблон:Sfn.

См. также

• Функция Кобба — Дугласа
• Изокванта

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга