Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем Шаблон:Iw. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть Шаблон:Формула кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида Шаблон:Формула где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D с нормой $N(\pi )$, такое что $N(\pi )\ne 3$. В этом случае $N(\pi )-1$ делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3={\alpha }^{(N(\pi )-1)/3}mod\pi$ иначе.

Заметим, что при $\pi$, не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\omega ,{\omega }^2\}$.

Кубический закон взаимности

Назовём $\pi$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть $\pi$ и $\theta$ — примарные, тогда Шаблон:Формула

Другие свойства характера кубического вычета

• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^3\equiv \alpha mod\pi$ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ — кубический вычет
• Мультипликативность: ${\left(\frac{\alpha \beta }{\pi }\right)}_3={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3\cdot {\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}_3$
• Периодичность: если $\alpha \equiv \beta mod\pi$, то ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3={\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}_3$
• Если $\pi =-1+3(m+n\omega )$ — примарное, то

• ${\left(\frac{\omega }{\pi }\right)}_3={\omega }^{m+n}$
• ${\left(\frac{1-\omega }{\pi }\right)}_3={\omega }^{2m}$

Список литературы

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга