Целочисленная матрица

В математике целочисленной матрицей называется матрица, элементы которой являются целыми числами. Целочисленными являются, например, бинарные матрицы, нулевая матрица, матрица единиц, единичная матрица и матрица смежности. Целочисленные матрицы часто применяются в комбинаторике и, в частности, в теории графов.

Примеры

Матрицы $\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 6& 0\\ 4& 7& 3& 8\\ 5& 9& 0& 4\\ 3& 1& 0& -3\\ 9& 0& 2& 1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& 9& 2\\ 1& 7& 3\end{array}\right)$ являются целочисленными.

Свойства

• Определитель целочисленной матрицы является целым числом.
• Матрица, обратная целочисленной матрице $M$, является целочисленной тогда и только тогда, когда определитель $M$ равен $1$ или $-1$. Такие матрицы называются унимодулярными.
  • Целочисленные матрицы с определителем, равным $1$, образуют специальную линейную группу ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐙)$, которая используется в арифметике и геометрии. При $n=2$ она тесно связана с модулярной группой.
• Характеристический многочлен целочисленной матрицы имеет целочисленные коэффициенты.
  • В частности, собственные числа матрицы являются целыми алгебраическими числами.

Внешние ссылки

• Integer Matrix at MathWorld