Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

$\dot{x}=Ax+f(x),(*)$

где $x\in {ℝ}^n$, $A$ — линейный оператор, $f(x)$ — гладкая функция класса $C^{k+1}$, причем $f(0)=0$ и $Df(0)=0$. Иными словами, $Ax$ — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

подпространство	название	спектр A
$T^s$	устойчивое (stable)	$\mathrm{Re}\lambda <0$
$T^u$	неустойчивое (unstable)	$\mathrm{Re}\lambda >0$
$T^c$	центральное (center)	$\mathrm{Re}\lambda =0$

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех $A$-инвариантных подпространств ${ℝ}^n=T^s\oplus T^u\oplus T^c$, где $T^s,T^u,T^c$ определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы $\dot{x}=Ax$, решением которой является матричная экспонента $x(t)=e^{At}{x}_0$. Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение:Шаблон:Sfn Шаблон:Theorem Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (*) принадлежит классу $C^k$, $2\le k<\mathrm{\infty }$. Тогда в окрестности особой точки существуют многообразия $W^s,W^u$ и $W^c$ классов $C^k,C^k$ и $C^{k-1}$ соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств $T^s,T^u$ и $T^c$ и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно. Шаблон:/theorem

В случае, когда правая часть уравнения (*) принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty }}$, многообразия $W^s$ и $W^u$ также принадлежат классу $C^{\mathrm{\infty }}$, но центральное многообразие $W^c$, вообще говоря, может быть лишь конечно-гладким. При этом для любого сколь угодно большого числа $k$ многообразие $W^c$ принадлежит классу $C^k$ в некоторой окрестности $U_k$, стягивающейся к особой точке при $k\to \mathrm{\infty }$, так что пересечение всех окрестностей $U_k$ состоит лишь из самой особой точки.

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора $A$.

Пример: седлоузел

Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=x^2\\ \dot{y}=y\end{array}$

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис $\{x=0,y>0\}$ и $\{x=0,y<0\}$ и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

$y(x)=y_0\exp (\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x})$,

где $y(x_0)=y_0$.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox $\{x<0,y=0\}$. В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого $x_0>0$ и любого $y_0$. В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча $\{x<0,y=0\}$, точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).

Глобальные центральные многообразия

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве ${ℝ}^n$, можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.)

Рассмотрим проекции ${\pi }_s,{\pi }_u,{\pi }_c$ пространства ${ℝ}^n$ на соответствующие инвариантные подпространства оператора $A$. Определим также подпространство $T^h=T^u\oplus T^s$ и проекцию ${\pi }_h$ на него. Центральным многообразием $W^c$ называется множество таких точек $x$ фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из $x$, на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

$W^c:=\{x\in {ℝ}^n:\underset{t\in ℝ}{\sup }|{\pi }_h(\tilde{x}(t,x))|<\mathrm{\infty }\}$,

где $\tilde{x}(t,x)$ — такое решение уравнения (*), что $\tilde{x}(0,x)=x$.

Для существования глобального центрального многообразия на функцию $f(x)$ необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в ${ℝ}^n$ и определено единственным образом. Если потребовать от $f(x)$ гладкости порядка $k$ и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка $k$ и касаться центрального инвариантного подпространства $T^c$ в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального. Точнее, это утверждение формулируется следующим образом: Шаблон:Theorem Пусть $f\in C^k({ℝ}^n)$, $k\ge 1$, $f(0)=0$, $Df(0)=0$ и $W^c$ — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля $\mathrm{\Omega }$ и такая ограниченная на всем пространстве функция $\tilde{f}(x)$, совпадающая с $f(x)$ в $\mathrm{\Omega }$, что уравнение (*) для функции $\tilde{f}$ имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области $\mathrm{\Omega }$ с $W^c$ Шаблон:/theorem Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения Шошитайшвили, формулируется следующим образом: Шаблон:Theorem Предположим, что правая часть векторного поля (*) принадлежит классу $C^2$. Тогда в окрестности негиперболической особой точки оно орбитально-топологически эквивалентно произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=w(x)\\ \dot{y}=-y\\ \dot{z}=z,\end{array}x\in W^c,y\in T^s,z\in T^u$ Шаблон:/theorem

Литература

• Шаблон:Книга