Циклотронная масса

Циклотро́нная ма́сса — величина, играющая роль массы электрона или дырки в выражении для циклотронной частоты их периодического движения в постоянном и однородном магнитном поле.

Эффективная и циклотронная массы

В проводниках с анизотропной поверхностью Ферми инерционные характеристики носителей описываются с помощью тензора эффективных масс $m_{ik}$ ($i,k=x,y,z$). Тензор эффективных масс является симметричным тензором второго ранга, компоненты которого могут быть как положительными, так и отрицательными. В общем случае циклотронная масса не совпадает ни с одной из компонент тензора эффективных масс. Циклотронная масса $m_c$ появляется в теории, как величина входящая в выражение для циклотронной частоты ${\omega }_c=\left|e\right|B/m_c$ движения заряжённой частицы по периодической траектории в однородном магнитном поле $B$ ($e$- заряд частицы). В простейшем случае сферической Ферми поверхности тензор $m_{ik}$ диагонален, а все три диагональные компоненты равны $m_{kk}=m^{*}$ и совпадают с циклотронной массой $m^{*}=m_c$. Циклотронную массу измеряют с помощью изучения циклотронного резонанса, циклотронного резонанса Азбеля-Канера, магнитных осцилляционных эффектов (эффект Шубникова — де Гааза, эффект де Гааза — ван Альфена) и других кинетических эффектов и термодинамических характеристик. Знание циклотронной массы позволяет получить важную информацию о форме поверхности Ферми в твёрдом теле.

Теория для кремния

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в $k$-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью $xz$ такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии $k_0$. Пусть вектор магнитного поля $𝐁$ лежит в этой плоскости и образует угол $\theta$ с осью $z$. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

$\epsilon =\frac{{\hslash }^2}{2}(\frac{k_x^2+k_y^2}{m_t}+\frac{(k_z-k_0{)}^2}{m_l}),$

где введены две разные эффективные массы $m_t$, $m_l$ (диагональные компоненты тензора эффективных масс), называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле $𝐁$ в отсутствие затухания

$\hslash \frac{d𝐤}{dt}=-e𝐯\times 𝐁,$

где $𝐤$ — волновой вектор, а скорость частицы $𝐯$ определяется выражением

$𝐯=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_k\epsilon =(\frac{\hslash k_x}{m_t},\frac{\hslash k_y}{m_t},\frac{\hslash (k_z-k_0)}{m_l}).$

Теперь распишем покомпонентно закон движения

$\hslash \frac{d{k}_x}{dt}=-\frac{e\hslash B{k}_y}{m_t}\cos \theta ,$

$\hslash \frac{d{k}_y}{dt}=\frac{e\hslash B{k}_x}{m_t}\cos \theta -\frac{e\hslash B(k_z-k_0)}{m_l}\sin \theta ,$

$\hslash \frac{d{k}_z}{dt}=\frac{e\hslash B{k}_y}{m_t}\sin \theta .$

Нас будет интересовать только решения вида

$k_x=k_1{e}^{i\omega t},k_y=k_2{e}^{i\omega t},k_z=k_0+k_3{e}^{i\omega t}.$

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

${\omega }_c=eB{(\frac{{\sin }^2\theta }{m_l{m}_t}+\frac{{\cos }^2\theta }{m_t^2})}^{1/2}.$

Здесь можно определить циклотронную массу как

$m_c={(\frac{{\sin }^2\theta }{m_l{m}_t}+\frac{{\cos }^2\theta }{m_t^2})}^{-1/2}.$

Видно, что если угол равен нулю, то $m_c=m_t$, а если угол прямой: $m_c=\sqrt{m_l{m}_t}$.

Общий случай

В общем случае для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты

${\omega }_c=\frac{2\pi eB}{{\hslash }^2}\frac{1}{(\partial S/\partial {\epsilon }_F)}$

и циклотронной массы

$m_c=\frac{{\hslash }^2}{2\pi }\frac{\partial S}{\partial \epsilon },(1)$

где $S(\epsilon ,k_H)$ — площадь сечения поверхности Ферми плоскостью $k_H=const$, $k_H$ — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, $\epsilon$ — энергия электрона.

Случай параболической зоны

Для простейшей изотропной параболической зоны энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора:

${\epsilon }_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{*}}$,

$S({\epsilon }_F,k_H)=\pi k_{\mathrm{\perp }}^2=\pi (\frac{2m^{*}{\epsilon }_F}{{\hslash }^2}-k_H^2),$

где $k_{\mathrm{\perp }}$ — величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю, ${\epsilon }_F$ — энергия Ферми. В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:

$\frac{\partial S}{\partial {\epsilon }_F}=\frac{2\pi m^{*}}{{\hslash }^2}.$

Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

$m_c=\frac{{\hslash }^2}{2\pi }\cdot \frac{\partial S}{\partial {\epsilon }_F}=m^{*}.$

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны имеется тождественность «циклотронной массы» и «эффективной массы». Данное обстоятельство позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твёрдом теле.

Циклотронная масса для графена

Двухмерный закон дисперсии графена вблизи точек Дирака задается уравнением

$\epsilon =\pm \hslash v_{F}k,$

где $\epsilon$ — энергия возбуждения, $v_F$ — скорость Ферми, $k$ — абсолютная величина двухмерного волнового вектора.

Рассмотрим легированный графен с плотностью носителей на единицу площади, $n_s$, при достаточно низкой температуре, такой что электроны образуют вырожденный Ферми-газ. Тогда можно определить поверхность Ферми как 2D линию — круг $\epsilon ={\epsilon }_F$. После учёта спинового и долинного вырождения соответствующий волновой вектор Ферми $k_F$ равен

$k_F=\sqrt{\pi n_s}.$

Для того чтобы определить циклотронную массу в квазиклассическом приближении, используем уравнение (1), в которое следует подставить, $S(\epsilon )$, площадь в k-пространстве, ограниченную орбитой с энергией $\epsilon$

$S\left(\epsilon \right)=\pi k^2\left(\epsilon \right)=\frac{\pi {\epsilon }^2}{{\hslash }^2{v}_F^2},$

откуда находим, циклотронную массу:

$m_c=\frac{\hslash k_F}{v_F}=\frac{\hslash }{v_F}\sqrt{\pi n_s}.$

См. также

• Эффективная масса
• Циклотронный резонанс
• Циклотронный резонанс Азбеля — Канера

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга

Ссылки

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429