Частичный след

Слева полная матрица плотности ${\rho }_{AB}$ двухчастичной системы. Справа редуцированная матрица плотности ${\rho }_A$ первой частицы полученная как частичный след для второй частицы.

В линейной алгебре частичный след обобщает понятие след матрицы. Cлед линейного оператора является скаляром, тогда как частичный след сам является линейным оператором. Частичный след применяется в квантовой информатике и теории декогеренции.

Определение

Для любого пространства $A$, обозначим пространство линейных операторов на $A$ нем как $L(A)$. Пусть $V$, $W$ являются конечномерными векторными пространствами над полем с размерностями $m$ и $n$ соответственно. Пусть базисами в V иW будут соответственно $v_1,\dots ,v_m$, и $w_1,\dots ,w_n$.

Частичный след ${\mathrm{Tr}}_W$ для пространства $W$, это отображение $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \mathrm{L}(V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}={\mathrm{Tr}}_W(A)\in \mathrm{L}(V)$ заданное соотношением $b_{k,i}=\sum _{j=1}^n{a}_{kj,ij}.$

Линейный оператор заданный таким образом не зависит от выбора базиса $v_1,\dots ,v_m$, и $w_1,\dots ,w_n$.

Частичный след как квантовая операция

Рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состояния принадлежат гильбертову пространству $H_A\otimes H_B$, а матрицы плотности, соответственно, $H_A\otimes H_B\otimes H_A^{*}\otimes H_B^{*}$. Рассмотрим матрицу плотности ${\rho }_{AB}\in H_A\otimes H_B\otimes H_A^{*}\otimes H_B^{*}$.

$\{{|i⟩}_A\}$ и $\{{|i⟩}_B\}$ — базисы пространств $H_A$ и $H_B$ соответственно.

Тогда подсистема $A$ описывается матрицей плотности ${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B({\rho }_{AB})=\sum _{{|i⟩}_B}{⟨i|}_B{\rho }_{AB}{|i⟩}_B$

Литература

• Д. А. Кронберг, Ю. И. Ожигов, А. Ю. Чернявский (2012). «Алгебраический аппарат квантовой информатики».