Частные производные высших порядков

Пусть задана функция $f(x,y)$. Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ и $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных $x,y$ и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ обозначается через $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ или $f_{x^{″}x}$, а $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ через $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ или $f_{x^{″}y}$. Таким образом,

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{x^{″}x}$, $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{x^{″}y}$

и, аналогично,

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{y^{″}x}$, $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=f_{y^{″}y}$.

Производные $f_{x^{″}x},f_{x^{″}y},f_{y^{″}x}$ и $f_{y^{″}y}$ называются частными производными второго порядка. Определение: частной производной второго порядка от функции $z=f(x;y)$ дифференцируемой в области $D$, называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: $\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}$, $\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y\partial x^2}$, $\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^2\partial x}$ и т. д.