Числа Салема

В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число Шаблон:Nums, все сопряжённые которого имеют модуль не больше 1 и по крайней мере одно из них имеет единичный модуль. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.

Свойства

Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть Шаблон:Iw. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.

Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).

Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана

Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)

$P(x)=x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1,$

значение которого Шаблон:Nums; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полинома.

Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,

$Q(x)=x^{12}-x^7-x^6-x^5+1,$

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению

$x^{630}-1=\frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1{)}^2(x^{90}-1)(x^3-1{)}^3(x^2-1{)}^5(x-1{)}^3}{(x^{35}-1)(x^{15}-1{)}^2(x^{14}-1{)}^2(x^5-1{)}^6{x}^{68}}$.

Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени

$x^3-x-1,$

известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно x^n/2) и решить уравнение

$x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)$

относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:

$x^n(x^3-x-1)=-x^3-x^2+1$

и при Шаблон:Nums получим

$(x-1)(x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1)=0,$

где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения,

$x(x^3-x-1{)}^{1/n}=\pm (x^3+x^2-1{)}^{1/n}$.

Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x³ − x − 1 = 0.Шаблон:Прояснить2 При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположномШаблон:Каком направлении. Используя минимальный полином $x^4-x^3-1$ следующего наименьшего PV-числа

$x^n(x^4-x^3-1)=-(x^4+x-1),$

который для Шаблон:Nums принимает вид

$(x-1)(x^{10}-x^6-x^5-x^4+1)=0$

при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень Шаблон:Nums, который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x⁴ − x³ − 1 = 0.

Литература

• Шаблон:Книга Chap. 3.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга