Числа Серпинского

В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число $k\cdot 2^n+1$ является составным. Числа Серпинского названы так в честь открывшего их существование польского математика Вацлава Серпинского.

Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность $3\cdot 2^n+1$, то в ней регулярно будут встречаться простые числа, и неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности $k\cdot 2^n+1$ никогда не встретится простое число.

Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число $k\cdot 2^n+1$ является простым.

Известные числа Серпинского

Последовательность известных на данный момент чисел Серпинского начинается так:

Шаблон:Nums, Шаблон:Nums, Шаблон:Nums, …

То, что число Шаблон:Num является числом Серпинского, было доказано в 1962 году Шаблон:Не переведено, который показал, что каждое число вида $78557\cdot 2^n+1$ делится по крайней мере на одно число из покрывающего множества {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Аналогично доказывается, что Шаблон:Num также является числом Серпинского: каждое число вида $271129\cdot 2^n+1$ делится по крайней мере на одно число из множества {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Большинство известных на данный момент чисел Серпинского обладают подобными покрывающими множествами.

Проблема Серпинского

Шаблон:Main Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского.

В 1967 году Селфридж и Серпинский предположили, что Шаблон:Num является наименьшим числом Серпинского. Доказательством этой гипотезы занимаются проекты распределённых вычислений Seventeen or Bust и PrimeGrid.

К 2025 году из шести чисел-кандидатов, которые могли бы опровергнуть эту гипотезу, осталось пять: Шаблон:Nums и Шаблон:Num (число 10223 было отвергнуто в ноябре 2016 года).

См. также

• Число Прота

Ссылки

• Prime RiddleШаблон:Ref-en — статья про числа Серпинского и проект Seventeen or Bust.