Число Прота

Число Прота — натуральное число вида:

$k\cdot 2^n+1$,

где $k$ является нечётным положительным целым числом и $n$ — положительное целое число, причём $k<2^n$ (без последнего условия числами Прота были бы все нечётные целые числа больше 1).

Названы в честь французского математика Шаблон:Iw (1852—1879).

Первые числа Прота:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, …

Наибольший интерес представляют простые числа Прота, первые таковые:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …

Простота чисел Прота может проверяться с помощью теоремы Прота, которая утверждает, что число Прота $p$ является простым, только если существует целое $a$, для которого справедливо следующее сравнение:

$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

На ноябрь 2016 года наибольшим известным простым числом Прота является $10223\cdot 2^{31172165}+1$, обнаруженное Петером Сабольчем (Peter Szabolcs) в проекте добровольных вычислений Seventeen or Bust, притом оно же является крупнейшим известным простым числом, не являющееся числом Мерсенна.

Числа Каллена $(n\cdot 2^n+1)$ и числа Ферма $(2^{2^n}+1)$ представляют собой частные случаи чисел Прота.

Каждый делитель числа Ферма $F_n$ при $n>2$ может быть представлен в виде $k\cdot 2^{n+2}+1$ (Эйлер, Люка, 1878). Однако, неравенство $k<2^{n+2}$ здесь может не выполняться.

См. также

• Число Серпинского
• PrimeGrid — проект добровольных вычислений по поиску больших простых Прота