Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида $n\cdot 2^n+1$ (пишется C_n). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых $n\le x$, для которых C_n простое, есть o(x) для $x\to \mathrm{\infty }$. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел $n\cdot 2^{n+a}+b$ где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 Шаблон:OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было $6679881\cdot 2^{6679881}+1$. Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.

Числа Каллена C_n делятся на $p=2n-1$, если p простое число вида $8k-3$. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит C_m(k) для каждого $m(k)=(2^k-k)(p-1)-k$ (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит $C_{(p+1)/2}$, когда символ Якоби $\left(\frac{2}{p}\right)$ есть −1, и что p делит $C_{(3p-1)/2}$, когда символ Якоби $\left(\frac{2}{p}\right)$ есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что C_p тоже простое.

Обобщения

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида $n\cdot b^n+1$, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 года наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было $427194\cdot 113^{427194}+1$. Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.

Дальнейшее чтение

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
• Шаблон:MathWorld
• Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers