Число Вудала

В теории чисел число Вудала (W_n) — любое натуральное число вида

$W_n=n\cdot 2^n-1$

для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … Шаблон:OEIS.

Числа Вудала были впервые изучены Шаблон:Нп3 и Шаблон:Нп3 в 1917, воодушевлённые более ранними исследованиями Шаблон:Нп3 подобным образом определённых чисел Каллена. Числа Вудала странным образом проявились в теореме Гудстейна.

Числа Вудала, являющиеся простыми числами, называются простыми числами Вудала. Несколько первых экспонент n, для которых соответствующие числа Вудала W_n простые:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … Шаблон:OEIS.

Сами же простые числа Вудала образуют последовательность:

7, 23, 383, 32212254719, … Шаблон:OEIS.

В 1976 году Шаблон:Нп2 показал, что почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел $n\cdot 2^{n+a}+b$, где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых чисел Вудала. По состоянию на октябрь 2018 года наибольшее известное простое число Вудала — $17016602\cdot 2^{17016602}-1$. Оно имеет 5122515 цифр и было найдено Диего Бертолотти (Diego Bertolotti) в 2018 в проекте распределённых вычислений PrimeGrid.

Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p простое число, то p делит

$W_{(p+1)/2}$, если символ Якоби $\left(\frac{2}{p}\right)$ равен +1 и

$W_{(3p-1)/2}$, если символ Якоби $\left(\frac{2}{p}\right)$ равен −1.

Обобщённое число Вудала определяется как число вида $n\cdot b^n-1$, где n + 2 > b. Если простое число можно записать в таком виде, его называют обобщённым простым числом Вудала.

См. также

• Простые числа Мерсенна — простые числа вида 2ⁿ − 1.

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.
• Шаблон:MathWorld
• Steven Harvey, List of Generalized Woodall primes.
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers

Шаблон:Rq