Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — Шаблон:Нп5, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Числа Якобсталя

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

$U_n(P,Q),$

для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, Шаблон:Nums, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

$J_n=\{\begin{array}{cc}0,& n=0;\\ 1,& n=1;\\ J_{n-1}+2J_{n-2},& n>1.\end{array}$

Другие варианты рекуррентного задания последовательности:

• $J_{n+1}=2J_n+(-1{)}^n$
• $J_{n+1}=2^n-J_n$

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$J_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}.$

Числа Якобсталя-Люка

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка $V_n(1,-2)$. Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:

$j_n=\{\begin{array}{cc}2,& n=0;\\ 1,& n=1;\\ j_{n-1}+2j_{n-2},& n>1.\end{array}$

Альтернативная формула:

$j_{n+1}=2j_n-3(-1{)}^n.$

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$j_n=2^n+(-1{)}^n.$

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, Шаблон:Nums, …

Литература

• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news

Ссылки

• Шаблон:OEIS long