Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Георгом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции $f(\alpha )={\omega }^{\alpha },$ то есть удовлетворяющие равенству $\epsilon ={\omega }^{\epsilon },$ где $\omega$ — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• ${\epsilon }_0=\sup \{0,1,\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}},...\};$
• ${\epsilon }_{\alpha +1}=\sup \{{\epsilon }_{\alpha }+1,{\omega }^{{\epsilon }_{\alpha }+1},{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{\alpha }+1}},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_{\alpha }+1}}},...\};$
• ${\epsilon }_{\alpha }=\sup \{{\epsilon }_{\beta }|\beta <\alpha \}$ для предельного ординала $\alpha .$

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции $f(\alpha )={\epsilon }_{\alpha },$ называется ординалом Кантора и обозначается как ${\zeta }_0.$

${\zeta }_0=\sup \{0,{\epsilon }_0,{\epsilon }_{{\epsilon }_0},{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}},{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}},...\}.$

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций ${\phi }_{\alpha }$. В соответствии с нотацией Веблена ${\epsilon }_{\alpha }={\phi }_1(\alpha )$.

Ссылки

• J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press Шаблон:ISBN
• Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers