Число Армстронга

Число Армстронга (также самовлюблённое число, совершенный цифровой инвариант; Шаблон:Lang-en) — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны Шаблон:Mvar — тогда число можно назвать Шаблон:Mvar-самовлюблённым.

Например, десятичное число Шаблон:Ч — число Армстронга, потому что

Шаблон:Power + Шаблон:Power + Шаблон:Power = 153.

Формальное определение

Пусть $n=\sum _{i=1}^k{d}_i{b}^{i-1}$ — число, записываемое $d_k{d}_{k-1}...d_1$ в системе счисления с основанием $b$.

Если при некотором $m$ случится так, что $n=\sum _{i=1}^k{d_i}^m$, то $n$ является $m$-самовлюблённым числом. Если, сверх того, $m=k$, то $n$ можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом $m$ может существовать лишь конечное число $m$-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого $k$, $k\cdot 9^k<10^{k-1}-1$.

Упоминания в литературе

В «Апологии математика» Харди писал:

«Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

153 = Шаблон:Nums, 370 = Шаблон:Nums,

371 = Шаблон:Nums, 407 = Шаблон:Nums.

Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика.»

Числа Армстронга в десятичной системе

В десятичной системе существует всего 88 чисел Армстронга. В промежутке 1 <= N <= 10 находятся следующие 32 N-значные числа Армстронга:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, Шаблон:Nums.

Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: Шаблон:Nobr.

Числа Армстронга в других системах счисления

• В троичной системе счисления: Шаблон:Num1₃, Шаблон:Num1₃, Шаблон:Num1₃, Шаблон:Num1₃, Шаблон:Num1₃, …
• В четверичной системе счисления: Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, Шаблон:Num1₄, …

Похожие классы чисел

Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и тому подобные.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld3Шаблон:Ref-en
• Narcissistic NumbersШаблон:Ref-en
• Digital InvariantsШаблон:Ref-en