Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Сферический треугольник

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

$\epsilon =A+B+C-\pi$

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числаШаблон:Rp.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула ЛюильеШаблон:Rp:

$\mathrm{tg}\frac{\epsilon }{4}=\sqrt{\mathrm{tg}\frac{p}{2}\mathrm{tg}\frac{p-a}{2}\mathrm{tg}\frac{p-b}{2}\mathrm{tg}\frac{p-c}{2}},p=\frac{a+b+c}{2}$

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формулаШаблон:Rp:

$\mathrm{ctg}\frac{\epsilon }{2}=\frac{\mathrm{ctg}\frac{a}{2}\mathrm{ctg}\frac{b}{2}+\cos C}{\sin C}$

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку $S=R^2\epsilon$ (здесь $R$ — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах)Шаблон:Rp.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\theta }_a,{\theta }_b,{\theta }_c$ при вершине, как:

$\mathrm{\Omega }=4\mathrm{arctg}\sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)}$, где ${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$ — полупериметр.

Через двугранные углы $\alpha ,\beta ,\gamma$ телесный угол выражается, как:

$\mathrm{\Omega }=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Ссылки

• Шаблон:Из БСЭ
• Сферический избыток на сайте MathWorld