Эпициклическая частота

Эпициклическая частота в астрофизике — характеристика движения тела под воздействием определённого гравитационного потенциала — например, движения звезды в галактике. Если орбита тела мало отличается от круговой, а движение по ней происходит с частотой $\mathrm{\Omega }$, то можно считать, что тело совершает малые колебания относительно точки, движущейся по круговой орбите с такой же частотой $\mathrm{\Omega }$. Частота таких малых колебаний называется эпициклической частотой и обозначается $\kappa$.

Описание

В астрофизике может рассматриваться движение тела в определённом гравитационном потенциале — например, движение в галактике. Однако даже если гравитационный потенциал является симметричным относительно какой-либо выделенной оси, то уравнения, описывающие движение тела, могут иметь аналитические решения лишь в частных случаях — например, в задаче двух тел, когда вся масса, создающая поле тяготения, находится в одной точке. Это обстоятельство заставляет рассматривать движение в упрощённом виде. Если траектория движения звезды в галактике близка к окружности, то можно рассмотреть круговую орбиту в плоскости галактики, по которой движение происходило бы с той же частотой $\mathrm{\Omega }$, и исследовать колебания звезды относительно точки на круговой орбите. Частота таких колебаний в плоскости диска называется эпициклической частотой и обозначается $\kappa$. Например, для потенциала точечной массы, в котором $\mathrm{\Omega }\propto R^{-3/2}$ и движение пробного тела происходит в согласии с законами Кеплера, $\kappa =\mathrm{\Omega }$. В других случаях, которые могут возникнуть на практике, чаще всего $\mathrm{\Omega }\lesssim \kappa \lesssim 2\mathrm{\Omega }$Шаблон:Sfn.

Рассмотрение задачи в таком виде называется эпициклическим приближением. Название связано с тем, что движение в плоскости галактики относительно кругового движения происходит по эллипсу и тем самым напоминает движение по эпициклу.

Вывод

В общем виде уравнения движения звезды в цилиндрических координатах $R,\theta ,z$ в потенциале $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(R,\theta ,z)$ выглядят следующим образом:

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R},$

$\frac{d}{dt}\left(R^2\frac{d\theta }{dt}\right)=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta },$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}.$

Для осесимметричного потенциала $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(R,z)$ второе из этих уравнений переписывается в более простом виде: $R^2\frac{d\theta }{dt}=h$, где $h$ — постоянная, называемая интегралом площадей. Движение по орбите, близкой к круговой, можно рассматривать как сумму кругового движения по орбите вокруг центра галактики в плоскости диска и малых отклонений. В цилиндрических координатах $R,\theta ,z$ движение будет выражено формулами:

$R=R_0+\delta R,$

$\theta ={\theta }_0+\delta \theta ={\omega }_0(t-t_0)+\delta \theta ,$

$z=\delta z.$

Здесь $R_0$ — радиус соответствующей круговой орбиты, ${\theta }_0$ — азимутальный угол относительно центра галактики, соответствующий движению по окружности. Для заданной орбиты можно определить $R_0$ так, чтобы $h$ для круговой орбиты с радиусом $R_0$ совпадал с $h$ для заданной. Также при помощи $h$ можно переписать первое уравнение движения.

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=\frac{h^2}{R^3}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R},$

$R^2\frac{d\theta }{dt}=h,$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}.$

Частота вращения галактики ${\omega }_0$ на радиусе $R_0$ определяется как ${\omega }_0=h/R_0^2$. Рассматривая круговые орбиты, из первого уравнения можно получить следующее выражение, в котором нижний индекс 0 означает взятие производной в точке $R_0$:

$h^2=-R_0^3{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R}\right)}_0.$

Потенциал $\mathrm{\Phi }(R,z)$ можно разложить в ряд по степеням $R-R_0$ и $z$ и оставить только первые степени. Тогда получится:

$\frac{d^{2}R}{d{t}^2}=[1-{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{-3}]{\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R}\right)}_0+\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}\right)(R-R_0),$

$\frac{d\theta }{dt}={\omega }_0{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{-2},$

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}={\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_{0}z.$

Возвращаясь к значениям малых отклонений от кругового движения, можно переписать уравнения как:

$\frac{d^2\delta R}{d{t}^2}={(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}+\frac{3}{R}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R})}_0\delta R,$

$\frac{d\delta \theta }{dt}=-2\frac{{\omega }_0}{R_0}\delta R,$

$\frac{d^2\delta z}{d{t}^2}={\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_0\delta z.$

Значения, заключённые в скобки, являются отрицательными. Таким образом, эти уравнения описывают малые колебания: можно ввести следующие обозначения:

${(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial R^2}+\frac{3}{R}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial R})}_0=-{\kappa }^2,$

${\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}\right)}_0=-{\nu }^2.$

Тогда решения уравнений примут следующий вид:

$\delta R=a\sin \kappa (t-t_1),$

$\delta \theta =2\frac{{\omega }_0}{\kappa R_0}a\cos \kappa (t-t_1),$

$\delta z=b\sin \nu (t-t_2).$

В этих формулах $a,b,t_1,t_2$ — постоянные интегрирования. Вид формул означает, что при отклонении от круговой орбиты тело в галактической плоскости движется по эллипсу относительно точки на круговой орбите с частотой $\kappa$, а вдоль оси $z$ совершает гармонические колебания с частотой $\nu$. Величина $\kappa$ и называется эпициклической частотой (иногда радиальной частотой), а $\nu$ — вертикальной частотойШаблон:Sfn, её квадрат называют динамическим параметром и часто обозначают $C^2$. Частота колебаний в плоскости и вне плоскости не совпадает, так что орбита в общем случае не является замкнутой.

Применение

Эпициклическую частоту в окрестностях Солнца можно оценить через постоянные Оорта: ${\kappa }^2=4B(B-A)$. В этой области $\kappa$ равняется приблизительно 32 км/с/кпк и период эпициклических колебаний в окрестностях Солнца равен приблизительно 80 % периода вращения Галактики на том же расстоянии. Динамический параметр $C^2$ зависит от наблюдаемой дисперсии скоростей в направлении, перпендикулярном диску Галактики ${\sigma }_z$, и распределением плотности $\rho$:

$C^2=-{\sigma }_z^2\frac{{\partial }^2\ln \rho }{\partial z^2}.$

В окрестности Солнца период вертикальных колебаний составляет 45 % периода вращения Галактики. Плотность вещества в диске Галактики вблизи Солнца можно выразить через динамический параметр и постоянные Оорта:

$4\pi G\rho =C^2-2(A^2-B^2).$

Оценка плотности, получаемая таким образом, называется динамической и составляет для окрестности Солнца 6Шаблон:E г/см³.

Резонансы Линдблада

Потенциал реальных галактик часто не является осесимметричным, и, кроме того, вращается — отклонение от осевой симметрии могут создавать, например, бары. Если отклонение потенциала от осевой симметрии невелико, то его можно представить как сумму осесимметричного потенциала и некоторого возмущения, которое и вращается с угловой скоростью ${\mathrm{\Omega }}_b$, как и суммарный потенциал. Из-за малости возмущений движение частиц также можно рассматривать как близкое к круговому с частотой ${\mathrm{\Omega }}_0$ на радиусе $R_0$, и, следовательно, использовать эпициклическую частоту ${\kappa }_0$. Таким образом, возмущения из-за неосесимметричности потенциала на рассматриваемой орбите действуют с частотой $m({\mathrm{\Omega }}_0-{\mathrm{\Omega }}_b)$, где $m$ — целое число, соответствующее степени симметрии потенциала: чаще всего рассматривают $m=2$, которое соответствует бару или спиральной структуре, состоящей из двух рукавов. Если эта частота совпадает с ${\kappa }_0$, то между собственными эпициклическими колебаниями и возмущением возникает резонанс, называемый резонансом Линдблада. Если $m({\mathrm{\Omega }}_0-{\mathrm{\Omega }}_b)={\kappa }_0$, то это внутренний резонанс Линдблада, если же $m({\mathrm{\Omega }}_0-{\mathrm{\Omega }}_b)=-{\kappa }_0$ — внешний. Существуют и другие, менее важные резонансы Линдблада, каждый из которых расположен на своём радиусе. В отдельно взятой галактике могут наблюдаться какие-то из них, а может и не обнаруживаться никакихШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга