Ядро (статистика)

Шаблон:Другие значения Ядром (Шаблон:Lang-en) в статистике и эконометрике называют окно (весовую функцию). Байесовская, непараметрическая статистика и теория распознавания образов трактуют термин по-разному.

Непараметрическая статистика

В непараметрической статистике под ядром понимается весовая функция, используемая при оценке распределений и параметров (ядерная оценка плотности, ядерная регрессия). Ядра также применяются при анализе временных рядов. Ядерная оценка требует специфицировать ширину окна.

Определение

Шаблон:Main Неотрицательная вещественнозначная интегрируемая функция K называется ядром. В большинстве случаев желательно, чтобы функция удовлетворяла ещё двум требованиям:

Нормирование:

\int_{- \infty}^{+ \infty} K (u) d u = 1;

Симметрия:

K (- u) = K (u) \forall u .

Если функция обладает первым свойством, то результатом ядерной оценки плотности действительно будет плотность вероятности. Второе свойство гарантирует, что среднее значение распределения равно среднему использованной выборки.

Если функция K является ядром, то ядром будет и функция K*(u) = λK(λu) при λ > 0. Данный результат позволяет выбрать масштаб, подходящий для имеющихся данных.

Часто используемые ядерные функции

В практике распространены несколько типов ядер: равномерное, треугольное, Епанечниково^[1], гауссово и проч.

Ниже дана таблица с перечнем часто используемых ядер. Если носитель ядра K ограничен, то для всех значений u вне носителя $K (u) = 0$ .

Ядерные функции, K(u)		$\int u^{2} K (u) d u$	$\int K (u)^{2} d u$	Эффективность^[2] относительно Епанечникова ядра
Равномерное	$K (u) = \frac{1}{2}$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	92.9%
Треугольное	$K (u) = (1 - \| u \|)$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	98.6%
Епанечниково (параболическое)	$K (u) = \frac{3}{4} (1 - u^{2})$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	100%
Биквадратное	$K (u) = \frac{15}{16} (1 - u^{2})^{2}$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{1}{7}$	$\frac{5}{7}$	99.4%
Триквадратное	$K (u) = \frac{35}{32} (1 - u^{2})^{3}$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{1}{9}$	$\frac{350}{429}$	98.7%
Трикубическое	$K (u) = \frac{70}{81} (1 - {\| u \|}^{3})^{3}$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$\frac{35}{243}$	$\frac{175}{247}$	99.8%
Гауссово	$K (u) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} u^{2}}$	$1$	$\frac{1}{2 \sqrt{π}}$	95.1%
Косинусоидальное	$K (u) = \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} u)$ Носитель: $\| u \| \leq 1$	$1 - \frac{8}{π^{2}}$	$\frac{π^{2}}{16}$	99.9%
Логистическое	$K (u) = \frac{1}{e^{u} + 2 + e^{- u}}$	$\frac{π^{2}}{3}$	$\frac{1}{6}$	88.7%
Сигмоидальное	$K (u) = \frac{2}{π} \frac{1}{e^{u} + e^{- u}}$	$\frac{π^{2}}{4}$	$\frac{2}{π^{2}}$	84.3%
Сильвермана^[3]	$K (u) = \frac{1}{2} e^{- \frac{\| u \|}{\sqrt{2}}} \cdot \sin (\frac{\| u \|}{\sqrt{2}} + \frac{π}{4})$	$0$	$\frac{3 \sqrt{2}}{16}$	не определена