Ядро (теория игр)

С-ядро (Шаблон:Lang-en, произносится цэ-ядро) — принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов $𝐱 = (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{N})$ , таких, что:

\sum_{i \in N} x_{i} = v (N)

и для любой коалиции $K \subset N$ выполнено:

\sum_{i \in K} x_{i} \geq v (K)

,

где $v$ — характеристическая функция игры.

Свойства

Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция K блокирует распределение выигрыша x, если найдётся другое распределение выигрыша y, такое, что

\sum_{i \in K} y_{i} \leq v (K)

,

и для любого участника $i \in K$ выполнено $y_{i} \geq x_{i}$ .

Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклым многогранником.

С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли:

Теорема. Кооперативная игра с супермодулярной характеристической функцией имеет непустое ядро.

Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О. Бондаревой и, позднее, Л. Шепли: Шаблон:Main Теорема. Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда она сбалансирована.

Любое равновесие Вальраса принадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторых предположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится ко множеству равновесий Вальраса (гипотеза Эджворта).