Языки Арнольда

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

$f_{\alpha ,\epsilon }(x)=x+\alpha +\epsilon \sin (2\pi x),x,\alpha \in S^1=ℝ/\mathbb{Z},\epsilon \in [0,1/10].$

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию $\rho (\alpha ,\epsilon )$, сопоставляющую параметрам $(\alpha ,\epsilon )$ число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

$E_{p/q}:=\{(\alpha ,\epsilon )\mid \rho (\alpha ,\epsilon )=p/q\},$

и называются языками Арнольда.

Описание поведения

Языки Арнольда для некоторых значений числа вращения

При $\epsilon =0$ отображение $f_{\alpha }$ является поворотом на угол $\alpha$. Соответственно, $\rho (\alpha ,0)=\alpha$, и рациональное значение $p/q$ принимается только в соответствующей точке $\alpha =p/q$

Напротив, при сколь угодно малом ${\epsilon }_0>0$ для каждого $p/q$ пересечение $E_{p/q}$ с горизонтальным отрезком $\epsilon ={\epsilon }_0$ оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения $f^q$ имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство $f_{\alpha ,\epsilon }$ при любом фиксированном $\epsilon$ монотонно по $\alpha$, при увеличении $\alpha$ наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю $E_{p,q}\cap \{\epsilon ={\epsilon }_0\}$) у $f_{\alpha ,{\epsilon }_0}$ появляется полуустойчивая периодическая орбита периода $q$ точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания $x$).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра $\alpha$ дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров $\alpha$ периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница $E_{p,q}\cap \{\epsilon ={\epsilon }_0\}$ — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении $\alpha$ периодические точки периода $q$ исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого $\alpha$ отображение $f_{\alpha ,{\epsilon }_0}^q$ тождественно, то соответствующее $E_{p,q}\cap \{\epsilon ={\epsilon }_0\}$ состоит из одной точки $(\alpha ,{\epsilon }_0)$. Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество $E_{p/q}$ — это своеобразный «язык», «растущий» из точки $(p/q,0)$ и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального $\phi$ множество $E_{\phi }=\{\rho (\alpha ,\epsilon )=\phi \}$ — это непрерывная кривая, начинающаяся из точки $(\phi ,0)$.

Стоит отметить, что при любом фиксированном $\epsilon >0$ число вращения как функция параметра $\alpha$ является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров $\alpha$, соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат