RS-анализ

RS-анализ — совокупность статистических приёмов и методов анализа временных рядов (преимущественно финансовых), позволяющих определить некоторые важные их характеристики, такие как наличие непериодических циклов, памяти и т. п.

Методология

Пусть имеется последовательность $S=(S_t{)}_{t\ge 0}$ котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае — временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность $h=(h_t{)}_{t\ge 1}$, где $h_t=\ln \left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)$ — логарифмическая доходность в момент времени $t$.

Для каждого натурального n составим величины $H_n=\sum _{k=1}^n{h}_k$ и вычислим следующие числовые характеристики получившейся подпоследовательности.

Пусть ${\bar{h}}_n=\frac{H_n}{n}$ — среднее арифметическое элементов подпоследовательности $h=(h_t{)}_{t=1}^n$

1. Размах накопленных сумм $R_n=\underset{k=1,\mathrm{...},n}{max}\left(\sum _{i=1}^k(h_i-{\bar{h}}_n)\right)-\underset{k=1,\mathrm{...},n}{min}\left(\sum _{i=1}^k(h_i-{\bar{h}}_n)\right)$;
2. Среднеквадратичное отклонение $S_n:S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(h_i-{\bar{h}}_n)}^2$;
3. Нормированный размах накопленных сумм (англ. the adjusted range of cumulative sums) $R{S}_n=\frac{R_n}{S_n}$

Вычисляя в соответствии с вышеприведённым алгоритмом значения $R{S}_n$, образуем из них и соответствующих значений количества элементов $n$ последовательность точек на плоскости $(x_n,y_n)\equiv {(\ln n,\ln R{S}_n)}_{n=1}^N$. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая $c_1=\sum _{i=1}^N{x}^2,c_2=\sum _{i=1}^{N}x;g_1=\sum _{i=1}^{N}xy;g_2=\sum _{i=1}^{N}y,$ находим коэффициент Хёрста

$ℍ=\frac{N{g}_1-c_2{g}_2}{N{c}_1-c_2^2}$

Замечания

1. Знание коэффициента Хёрста $ℍ$ временного ряда позволяет элементарно, в обход рутинной процедуры вычисления предела, получить такой нетривиальный показатель, как размерность Минковского временного ряда $d$ по формуле $d=2-ℍ.$
2. Коэффициент Хёрста $ℍ>0.5$ соответствует фрактальному броуновскому движению с положительной корреляцией (долгой памятью), $ℍ=0.5$ — обычному белому гауссовскому шуму $𝒻{\epsilon }_t,t\ge 0:{\epsilon }_t\sim iidN(\mu ,\sigma )ℊ$

Литература

• Голубев С.Н. R/S - анализ стабильности запаздывающего временного рядаШаблон:Недоступная ссылка // Лабораторный журнал: электрон. научн.-практич. журн. 2013. N 1(1). ISSN 2307-8561
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга