SARG04

SARG04 — протокол квантового распределения ключей, полученный усовершенствованием протокола BB84. Известен своей устойчивостью к атаке с разделением по числу фотонов.

История

В 2004 году группа криптографов (Acin A., Gisin N., Scarani V.) опубликовала в Physical Review Letters свою работу по исследованию протоколов на устойчивость к PNS-атакам (Шаблон:Lang-en), где была показана уязвимость протокола 4+2 (комбинация BB84 и B92) Шаблон:Sfn, который являлся первой попыткой противостоять PNS-атаке Шаблон:Sfn. Вместе с тем они предложили решение этой проблемы, а именно была придумана конфигурация векторов, не позволяющая провести измерение, которое бы ортогонализовало состояния в каждой паре базисов (с ненулевой вероятностью).

Описание

Невозможность измерения

Измерение, названное фильтрацией (Шаблон:Lang-en), может стать невозможным, если пары векторов из разных базисов не будут связаны никаким унитарным преобразованием. Рассмотрим две пары базисовШаблон:Sfn: $a:\{|0_a⟩,|1_a⟩\},b:\{|0_b⟩,|1_b⟩\}$, они связаны унитарным преобразованием $U:\{\begin{array}{c}|0_b⟩=u_{11}|0_a⟩+u_{12}|1_a⟩,\\ |1_b⟩=u_{21}|0_a⟩+u_{22}|1_a⟩.\end{array}$

Злоумышленник по имени Ева пытается провести фильтрацию, проецируя исходные состояния из базиса $a$ на ортогональное состояние $\{|0{\text{'}}_a⟩,|1{\text{'}}_a⟩\}$, то есть

$M|i_a⟩=\frac{1}{\sqrt{p_a}}|i{\text{'}}_a⟩,i=0,1$,

а в силу линейности отображения векторов из базиса $b:$

$M|0_a⟩=M(u_{11}|0_a⟩+u_{12}|1_a⟩)=\frac{1}{\sqrt{p_a}}(u_{11}|0{\text{'}}_a⟩+u_{12}|1{\text{'}}_a⟩),$

$M|1_b⟩=M(u_{21}|0_a⟩+u_{22}|1_a⟩)=\frac{1}{\sqrt{p_a}}(u_{21}|0{\text{'}}_a⟩+u_{22}|1{\text{'}}_a⟩).$

Наложение векторов в базис $b$ будет выглядеть: $|⟨0{\text{'}}_b|1{\text{'}}_b⟩|=|u_{11}{u}_{21}+u_{12}{u}_{22}|$, но $u_{11}{u}_{21}+u_{12}{u}_{22}=0$ (следует из определения унитарного преобразования), а значит Ева может подобрать измерение, проектирующее векторы каждого базиса на ортогональные состояния, для любого унитарного преобразования, которое связывает состояния из разных базисов. Однако, если связывающее преобразование неортогонально, то $|u_{11}{u}_{21}+u_{12}{u}_{22}|>|⟨0_a|1_a⟩|$, то есть всякое измерение, делающее ортогональным состояния одной пары базисов, будет непременно уменьшать угол между состояниями другой пары, делая их менее различимыми. Это обеспечивает противостояние PNS-атаке.

Принцип работы

В SARG04 реализуется описанное выше свойство: при определенной конфигурации состояний Ева не сможет провести фильтрацию. Авторы протокола предложили следующую конфигурацию Шаблон:Sfn:

$|0_a⟩=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\eta }{2}\\ \sin \frac{\eta }{2}\end{array}\right),|1_a⟩=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\eta }{2}\\ -\sin \frac{\eta }{2}\end{array}\right),$

$|0_b⟩=\left(\begin{array}{c}\sin \frac{\eta }{2}\\ -\cos \frac{\eta }{2}\end{array}\right),|1_b⟩=\left(\begin{array}{c}\sin \frac{\eta }{2}\\ -\cos \frac{\eta }{2}\end{array}\right).$

Угол между векторами в каждом из базисов равен $\eta :⟨0_a|1_a⟩=\cos \eta ,⟨0_b|1_b⟩=-\cos \eta$, причем $⟨0_a|0_b⟩=⟨1_a|1_b⟩=0,⟨0_a|1_b⟩=⟨1_a|0_b⟩=\sin \eta$.

Проверим такую конфигурацию на уязвимость для PNS-атак Шаблон:Sfn. Вектора разных базисов связаны следующим образом:

$|0_b⟩=c|0_a⟩+c^{\prime }|1_a⟩,|1_b⟩=c^{\prime }|0_a⟩+c|1_a⟩$, где $c=-\frac{\cos \eta }{\sin \eta },c^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^2\eta }$.

Величина перекрытия равна: $2c{c}^{\prime }=\frac{2\cos \eta }{\sin \eta }⩾\cos \eta$, следовательно протокол устойчив к PNS-атакам.

Криптоанализ

Протокол уязвим для PNS-атак, если злоумышленник способен блокировать все посылки с одним и двумя фотонами, а в посылках с тремя фотонами может измерять два из них в разных базисах, блокируя импульс при получении как минимум одного несовместного исхода. При угле $\frac{\pi }{4}$ вероятность получить несовместный исход хотя бы при одном измерении получается больше ${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, следовательно для эффективного перехвата Ева должна уметь блокировать посылки и с тремя фотонами. Получаем, что для успешной атаки протокола необходимо иметь возможность блокировать все посылки с одним, двумя и тремя фотонами, а значит SARG04 заметно лучше защищен от PNS-атак по сравнению с BB84Шаблон:Sfn.

Вариация протокола

В своей работе авторы SARG04 также описали важный частный случай протокола Шаблон:Sfn, который использует аналогичные сигнальные состояния, что и BB84, но имеет другую технику кодирования, что позволяет увеличить стойкость к PNS-атакам, жертвуя скоростью передачи данных. Рассмотрим угол $\eta =\frac{\pi }{4}$, после поворота сигнальными состояниями будут $|\pm x⟩$ и $|\pm z⟩$, как и в BB84 (использование тех же состояний упрощает техническую реализацию). Боб также случайно меряет компоненту ${\sigma }_x$ или ${\sigma }_z$, но теперь Алиса при публичном согласовании вместо базиса называет одну из четырёх пар состояний $A_{m,n}(m,n\in \{\pm \})$. Сигналы $0$ и $1$ кодируются состояниями $|\pm x⟩$ и $|\pm z⟩$ соответственно. Если Алиса собирается послать сигнал $1$, то она может послать $|-z⟩$ и публично объявить пару $A_{+,-}$. В свою очередь Боб сможет достоверно это распознать только тогда, когда он мерил ${\sigma }_x$ и получил $-1$. Он не сможет распознать $0$ в базисе ${\sigma }_x$ или что-либо в базисе ${\sigma }_z$, если получил $+1$. Измерив ${\sigma }_z$, он получит $-1$, но не узнает базис отправного состояния, поскольку Алиса могла использовать базис ${\sigma }_x$. Получаем, что после согласования базисов у Боба и Алисы совпадет только четверть посланных сигналовШаблон:Sfn, а скорость передачи упадет вдвое по сравнению с BB84 и B92.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья