T-структура

Шаблон:Заголовок со строчной буквы t-структура — понятие, аксиоматизирующее свойства абелевых подкатегорий производной категории. t-структура на триангулированной категории $𝒟$ состоит из двух подкатегорий $({𝒟}^{\le 0},{𝒟}^{\ge 0})$ в $𝒟$, обобщающих свойства комплексов с зануляющимися когомологиями в положительных, соответственно, в отрицательных степенях. На одной и той же категории могут существовать различные t-структуры, и взаимосвязи между этими структурами используются в алгебре и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по Шаблон:Iw.

Определение

Пусть $𝒟$ — триангулированная категория с функтором сдвига $[1]$. t-структура на $𝒟$ — это пара полных подкатегорий $({𝒟}^{\le 0},{𝒟}^{\ge 0})$, замкнутых относительно изоморфизма объектов, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам.

1. Если X — объект ${𝒟}^{\le 0}$, а Y — объект ${𝒟}^{\ge 0}$, то ${\mathrm{Hom}}_{𝒟}(X,Y[-1])=0.$
2. Если X — объект ${𝒟}^{\le 0}$, то X[1] — также объект ${𝒟}^{\le 0}$. Аналогично, если Y — объект ${𝒟}^{\ge 0}$, то Y[-1] — также объект ${𝒟}^{\ge 0}$.
3. Если A — объект $𝒟$, то существует выделенный треугольник $X\to A\to Y[-1]\to X[1]$, в котором X — объект ${𝒟}^{\le 0}$, а Y — объект ${𝒟}^{\ge 0}$.

Можно показать, что подкатегории ${𝒟}^{\le 0}$ и ${𝒟}^{\ge 0}$ замкнуты относительно расширений в $𝒟$. В частности, они замкнуты относительно конечных прямых сумм.

Предположим, что $({𝒟}^{\le 0},{𝒟}^{\ge 0})$ — t-структура на $𝒟$. В этом случае, для любого целого n определим ${𝒟}^{\le n}$ как полную подкатегорию $𝒟$, объекты которой имеют вид $X[-n]$, где $X$ — объект категории ${𝒟}^{\le 0}$. Аналогично, ${𝒟}^{\ge n}$ определяется как полная подкатегория объектов вида $Y[-n]$, где $Y$ — объект ${𝒟}^{\ge 0}$. Более кратко это записывается так:

$\begin{array}{cc}{𝒟}^{\le n}& ={𝒟}^{\le 0}[-n],\\ {𝒟}^{\ge n}& ={𝒟}^{\ge 0}[-n].\end{array}$

С учётом этих обозначений, аксиомы могут быть переписаны следующим образом:

1. Если X — объект ${𝒟}^{\le 0}$, а Y — объект ${𝒟}^{\ge 1}$, то ${\mathrm{Hom}}_{𝒟}(X,Y)=0.$
2. ${𝒟}^{\le 0}\subseteq {𝒟}^{\le 1}$ и ${𝒟}^{\ge 0}\supseteq {𝒟}^{\ge 1}$.
3. Если A — объект $𝒟$, то существует выделенный треугольник $X\to A\to Y\to X[1]$, в котором X — объект ${𝒟}^{\le 0}$, а Y — объект ${𝒟}^{\ge 1}$.

Ядром или сердцевиной t-структуры называется полная подкатегория ${𝒟}^{\mathrm{♡}}$, состоящая из объектов, которые содержатся одновременно в ${𝒟}^{\le 0}$ и в ${𝒟}^{\ge 0}$, то есть

${𝒟}^{\mathrm{♡}}={𝒟}^{\le 0}\cap {𝒟}^{\ge 0}.$

Сердцевина t-структуры является абелевой категорией (тогда как триангулированная категория аддитивна, но почти никогда не абелева), и замкнута относительно расширений.

Триангулированную категорию с выбранной t-структурой иногда называют t-категорией.

Варианты определения

Для задания t-структуры достаточно, для некоторых целых чисел m и n задать ${𝒟}^{\le m}$ и ${𝒟}^{\ge n}$. Некоторые авторы определяют t-структуру как пару $({𝒟}^{\le 0},{𝒟}^{\ge 1})$.

Две подкатегории ${𝒟}^{\le 0}$ и ${𝒟}^{\ge 1}$ однозначно определяют одна другую. Объект X принадлежит ${𝒟}^{\le 0}$ тогда и только тогда, когда $\mathrm{Hom}(X,Y)=0$ для всех объектов Y из ${𝒟}^{\ge 1}$, и наоборот. Таким образом, ${𝒟}^{\le 0}$ и ${𝒟}^{\ge 1}$ являются левым и правым ортогональными дополнениями друг для друга. Следовательно, достаточно задать одну из подкатегорий ${𝒟}^{\le 0}$ или ${𝒟}^{\ge 1}$.

Если для любого объекта X категории $𝒟$ существуют такие целые m и n, что $X\in {𝒟}^{\ge m}$ и $X\in {𝒟}^{\le n}$, то t-структура называется ограниченной.

Примеры

Естественная t-структура

Наиболее базовым примером t-структуры является естественная t-структура на производной категории. Пусть $𝒜$ — абелева категория, и $D(𝒜)$ — её производная категория. Тогда естественная t-структура задаётся парой подкатегорий

$\begin{array}{cc}D(𝒜{)}^{\le 0}& =\{X:\mathrm{\forall }i>0,H^i(X)=0\},\\ D(𝒜{)}^{\ge 0}& =\{X:\mathrm{\forall }i<0,H^i(X)=0\}.\end{array}$

Из определения немедленно следует, что

$\begin{array}{cc}D(𝒜{)}^{\le n}& =\{X:\mathrm{\forall }i>n,H^i(X)=0\},\\ D(𝒜{)}^{\ge n}& =\{X:\mathrm{\forall }i<n,H^i(X)=0\},\\ D(𝒜{)}^{\mathrm{♡}}& =\{X:\mathrm{\forall }i\ne 0,H^i(X)=0\}\cong 𝒜.\end{array}$

В этом случае третья аксиома t-структуры, утверждающая существование определённых выделенных треугольников, может быть доказана следующим образом. Предположим, что $A^{\bullet }$ — коцепной комплекс с членами из $𝒜$. Определим

$\begin{array}{cc}{\tau }^{\le 0}{A}^{\bullet }& =(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^0\to 0\to 0\to \cdots ),\\ {\tau }^{\ge 1}{A}^{\bullet }& =(\cdots \to 0\to 0\to A^0/\ker d^0\to A^1\to A^2\to \cdots ).\end{array}$

Нетрудно видеть, что ${\tau }^{\ge 1}{A}^{\bullet }=A^{\bullet }/{\tau }^{\le 0}{A}^{\bullet }$ и существует короткая точная последовательность комплексов

$0\to {\tau }^{\le 0}{A}^{\bullet }\to A^{\bullet }\to {\tau }^{\ge 1}{A}^{\bullet }\to 0.$

Эта точная последовательность индуцирует требуемый выделенный треугольник.

Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий.

Пары кручения

Пусть $𝒜$ — сердцевина ограниченной t-структуры на триангулированной категории $𝒟$. Пара подкатегорий $(𝒯,ℱ)$ категории $𝒜$ называется парой кручения, если выполняются следующие условия:

1. Для любых $T\in 𝒯,F\in ℱ$ имеем $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T,F)=0$.
2. Для любого $E\in 𝒜$ существует точная последовательность $0\to T\to E\to F\to 0$ в категории $𝒜$, где $T\in 𝒯,F\in ℱ$.

Для любой пары кручения $(𝒯,ℱ)$ можно определить «тилт» ${𝒜}^{\prime }$ как наименьшую подкатегорию в $𝒟$, содержащую $𝒯$ и $ℱ[1]$ и замкнутую относительно расширений. Категория ${𝒜}^{\prime }$ также является сердцевиной ограниченной t-структуры на $𝒟$. Такие t-структуры используются при построении Шаблон:Iw.

Срезающие функторы

В приведённом выше примере естественной t-структуры на производной категории выделенные треугольники, существование которых утверждается третьей аксиомой, строились при помощи операции «обрезания». Операции обрезания ${\tau }_{\le 0}{A}^{\bullet }$ и ${\tau }_{\ge 1}{A}^{\bullet }$ функториальны как операции на категории комплексов, и получающаяся короткая точная последовательность комплексов функториальна по $A^{\bullet }$. Используя это, можно показать, что корректно определены срезающие функторы на производной категории, и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.

На самом деле, это — пример общего явления. Хотя в определении t-структуры не говорится о существовании срезающих функторов, такие функторы всегда могут быть построены, и, по существу, определены однозначно. Предположим, что $𝒟$ — триангулированная категория с t-структурой $({𝒟}^{\le 0},{𝒟}^{\ge 0})$. Точное утверждение заключается в том, что функторы вложения

$\begin{array}{cc}{\iota }^{\le n}:& {𝒟}^{\le n}\to 𝒟,\\ {\iota }^{\ge n}:& {𝒟}^{\ge n}\to 𝒟\end{array}$

имеют сопряжённые. Это функторы

$\begin{array}{cc}{\tau }^{\le n}:& 𝒟\to {𝒟}^{\le n},\\ {\tau }^{\ge n}:& 𝒟\to {𝒟}^{\ge n},\end{array}$

такие, что

$\begin{array}{c}{\iota }^{\le n}⊣{\tau }^{\le n},\\ {\tau }^{\ge n}⊣{\iota }^{\ge n}.\end{array}$

Более того, для любого объекта $A$ категории $𝒟$ существует однозначно определённый морфизм

$d\in {\mathrm{Hom}}^1({\tau }^{\ge 1}A,{\tau }^{\le 0}A),$

который, вместе с единицей и коединицей сопряжения, индуцирует выделенный треугольник

${\tau }^{\le 0}A\to A\to {\tau }^{\ge 1}A\stackrel{d}{\to }{\tau }^{\le 0}A[1].$

С точностью до единственного изоморфизма, существует единственный выделенный треугольник вида $X\to A\to Y\to X[1]$, в котором $X$ и $Y$ являются объектами ${𝒟}^{\le 0}$ и ${𝒟}^{\ge 1}$, соответственно. Из существования такого треугольника следует, что объект $A$ принадлежит ${𝒟}^{\le n}$ (соответственно, ${𝒟}^{\ge n}$), если и только если ${\tau }^{\ge n+1}(A)=0$ (соответственно, ${\tau }^{\le n-1}(A)=0$).

Из существования ${\tau }^{\le 0}$ следует существование остальных срезающих функторов, при помощи сдвигов и перехода к противоположной категории. Если $A$ — объект $𝒟$, третья аксиома из определения t-структуры утверждает существование объекта $X$ из ${𝒟}^{\le 0}$ и морфизма $X\to A$, включающегося в определённый выделенный треугольник. Для произвольного $A$ выберем один такой треугольник и положим ${\tau }^{\le 0}(A)=X$. Из аксиом t-структуры следует, что для любого объекта $T$ из ${𝒟}^{\le 0}$ мы имеем

$\mathrm{Hom}(T,X)\cong \mathrm{Hom}(T,A),$

и изоморфизм индуцируется морфизмом $X\to A$. Это показывает, что $X$ является решением задачи об универсальном отображении. Из стандартных утверждений о производных функторах следует, что объект $X$ определён однозначно с точностью до единственного изоморфизма, и что существует единственный способ определить действие ${\tau }^{\le 0}$ на морфизмах, который делает его правым сопряжённым функтором. Это доказывает существование ${\tau }^{\le 0}$, и, следовательно, существование всех срезающих функторов.

Повторное применение операций обрезания для t-структур имеет свойства, аналогичные операциям обрезания для комплексов. Если $n\le m$, то существуют естественные преобразования

$\begin{array}{cc}{\tau }^{\le n}& \to {\tau }^{\le m},\\ {\tau }^{\ge n}& \to {\tau }^{\ge m},\end{array}$

которые индуцируют естественные эквивалентности

$\begin{array}{cc}{\tau }^{\le n}& \stackrel{\sim }{\to }{\tau }^{\le n}\circ {\tau }^{\le m},\\ {\tau }^{\ge m}& \stackrel{\sim }{\to }{\tau }^{\ge m}\circ {\tau }^{\ge n},\\ {\tau }^{\ge n}\circ {\tau }^{\le m}& \stackrel{\sim }{\to }{\tau }^{\le m}\circ {\tau }^{\ge n}.\end{array}$

Функторы когомологий

Функтор n-х когомологий $H^n$ определяется по формуле

$H^n={\tau }^{\le 0}\circ {\tau }^{\ge 0}\circ [n].$

В соответствии с названием, он действительно является когомологическим функтором на триангулированной категории. А именно, для любого выделенного треугольника $X\to Y\to Z\to X[1]$ мы получаем длинную точную последовательность

$\cdots \to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^i(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .$

В приложениях из алгебраической топологии функторы когомологий могут обозначаться как ${\pi }_n$ вместо $H^n$. Функторы когомологий принимают значения в сердцевине ${𝒟}^{\mathrm{♡}}$. По одному из приведённых выше тождеств, с точностью до естественной эквивалентности можно положить

$H^n={\tau }^{\ge 0}\circ {\tau }^{\le 0}\circ [n].$

Для естественной t-структуры на производной категории $D(𝒜)$ функтор когомологий $H^n$, как принимающий значения в $𝒜$, сопоставляет комплексу его обычные n-е когомологии.

t-структура называется невырожденной, если пересечение всех ${𝒟}^{\le n}$, а также пересечение всех ${𝒟}^{\ge n}$, состоит только из нулевых объектов. Для невырожденной t-структуры набор функторов $\{H^n{\}}_{n\in 𝐙}$ является консервативным (то есть морфизм $f:X\to Y$ в $𝒟$ является изоморфизмом, если все $H^n(f)$ — изоморфизмы). Более того, в этом случае ${𝒟}^{\le n}$ (соответственно, ${𝒟}^{\ge n}$) можно отождествить с полной подкатегорией тех объектов $A$, для которых $H^i(A)=0$ при $i>n$ (соответственно, $i<n$).

Литература

• Шаблон:Книга