Аддитивная энергия

Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву.

Определение

Пусть $(G,+)$ — группа.

Аддитивная энергия множеств $A\subset G$ и $B\subset G$ обозначается как $E_{+}(A,B)$ и равна количеству решений следующего уравнения:

$a_1+b_1=a_2+b_2(a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B)$

Шаблон:Якорь Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество $E_{\times }(A,B)$ решений уравнения:

$a_1{b}_1=a_2{b}_2(a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B)$

Экстремальные значения

Своего наименьшего значения $E_{+}(A,B)$ достигает, когда все суммы $a+b(a\in A,b\in B)$ различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при $\{a_1,b_1\}=\{a_2,b_2\}$) — например, когда $A=B$ и $A$ — множество различных образующих группы $G$ из какого-то минимального порождающего множества. Тогда $E(A,A)=\frac{|A{|}^2+|A|}{2}$

Наибольшее значение $E_{+}(A,B)$ достигается, когда $A=B$ и $A$ является подгруппой $G$. В этом случае для любого $x\in A$ число решений уравнения $a+b=x(a,b\in A)$ равно $|A|$, так что $E_{+}(A,A)=|A{|}^3$

Соответственно, промежуточные величины порядка роста $E_{+}(A,A)$ между $|A{|}^2$ и $|A{|}^3$ можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры $A$ к структуре подгруппы. Для некоторых групп $G$ определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп $G$ внутри $A$ (или какого-то производного от него множества) и о вложимости $A$ (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы $G$. Ограничения на $G$ для этих теорем связаны с показателем кручения группы $G$ и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.

Основные свойства

$E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)$

$E_{+}(A,B)|A+B|\ge |A{|}^2|B{|}^2$, где $A+B=\left\{a+b:a\in A,b\in B\right\}$

Для кольца вычетов по простому модулю $G={𝔽}_p$ аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим $e_p(k)=e^{2\pi \frac{k}{p}i}$. Тогда

$E_{+}(A,B)=\frac{1}{p}\sum _{t=0}^{p-1}{\left|\sum _{a\in A}{e}_p(ta)\right|}^2{\left|\sum _{b\in B}{e}_p(tb)\right|}^2$

Приложения

Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств $A+B=\left\{a+b:A+B\right\}$, в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.

Старшие энергии

Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:

$E_k(A)=\mathrm{\#}\left\{a_1-b_1=a_2-b_2=\dots =a_k-b_k:a_i,b_i\in A\right\}=\sum _s|A\cap (A+s){|}^k$

$T_k(A)=\mathrm{\#}\left\{\sum _{i=1}^k{x}_i=\sum _{i=1}^k{y}_i:x_i,y_i\in A\right\}$

Они называются старшими энергиямиШаблон:Sfn и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию.Шаблон:Sfn В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.

Для параметра $k$ в $E_k$ иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).Шаблон:Sfn

См. также

• Теорема сумм-произведений
• Структурная теорема Чанг

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья