Бета-функция (физика)

В теоретической физике, особенно в квантовой теории поля, часто используется бета-функция, характеризующая зависимость константы взаимодействия от энергетического уровня. Сама бета-функция определяется как $\beta (g)=\frac{\partial g}{\partial ln\mu }$

Масштабная инвариантность

Если бета-функция обращается в ноль при особом значении константы взаимодействия, то КТП, константа которой описывается этой бета-функцией, называется масштабно-инвариантной. Зачастую эти теории оказываются ещё и конформно-инвариантны. Такие поля изучаются конформной теорией поля.

Примеры

Бета-функции обычно считаются в приближении, например с помощью теории возмущений, которая предполагает, что параметры связи чрезвычайно малы. Далее выполняется разложение по степеням и обрезаются более высокие степени (обычно их называют петлями, из-за соответствующего количества петель в диаграммах Фейнмана).

Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция для КЭД определяется как

$\beta (e)=\frac{e^3}{12{\pi }^2}$

или с использованием постоянной тонкой структуры

$\beta (\alpha )=\frac{2{\alpha }^2}{3\pi }.$

Последняя формула следует из равенства

$\alpha =\frac{e^2}{4\pi }.$

Решением этого уравнения является функция

$\alpha =-\frac{3\pi }{2ln\mu }.$

Бета-функция говорит о том, что постоянная тонкой структуры возрастает вместе с энергетическим уровнем, она может даже обратиться в бесконечность при конечных энергиях (эти энергии называются полюсом Ландау). Как только бета-функция обращается в бесконечность, теория возмущений перестаёт работать.

Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция для КХД с $n_f$ ароматами кварков и $n_s$ скалярными цветными бозонами

$\beta (g)=-(11-\frac{n_s}{6}-\frac{n_f}{3})\frac{g^3}{16{\pi }^2}$

или

$\beta ({\alpha }_s)=-(11-\frac{n_s}{6}-\frac{n_f}{3})\frac{{\alpha }_s^2}{2\pi }.$

Решением этого уравнения является функция

${\alpha }_s=\frac{12\pi }{(66-n_s-2n_f)ln\mu }.$

Если $n_f\le 16$, то бета-функция убывает при увеличении энергетического уровня. Этот феномен называется асимптотической свободой.

Неабелева SU(N) калибровочная теория

В КХД используется калибрвочная группа $SU(3)$, определяющая 3 цвета. Мы можем обобщить бета-функцию для любого количества цветов Шаблон:Math

$\beta (g)=-(\frac{11}{3}{C}_2(SU(N))-\frac{1}{3}{n}_{s}T(R_s)-\frac{4}{3}{n}_{f}T(R_f))\frac{g^3}{16{\pi }^2}$

или

$\beta (\alpha )=-(\frac{11}{3}{C}_2(SU(N))-\frac{1}{3}{n}_{s}T(R_s)-\frac{4}{3}{n}_{f}T(R_f))\frac{{\alpha }^2}{2\pi }.$

Где $C_2$ — инвариант Казимира второго порядка от калибровочной группы, $T(R){\delta }^{ab}=tr(T_R^a{T}_R^b)$, где $T_R^{a,b}$ — генераторы алгебры Ли в представлении $R$. Для Майорановских и Вейловских фермионов $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$ заменить на $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$ соответственно. Для калибровочных полей (например глюонных) в сопряжении с $SU(N)$, $C_2(SU(N))=N$. Для фермионов в фундаментальном представлении $SU(N)$, $T(R)=\frac{1}{2}$. Тогда для КХД с $N=3$ бета-функция принимает вид представленный выше.

Взаимодействие Юкавы

В стандартной модели кварки и лептоны взаимодействуя с полем Хиггса через потенциал Юкавы приобретают массу. Взаимодействия большинства кварков и лептонов мало по сравнению с взаимодействием t-кварка. В динамике их можно описать с помощью бета-функции

$\beta (y)\approx (\frac{9}{2}{y}^2-8g_3^2)\frac{y}{16{\pi }^2},$

где $g_3$ — цветовая константа взаимодействия, которая также является функцией энергии и обладает свойствами асимптотической свободы. Таким образом взаимодействия всех кварков кроме t-кварка чрезывчайно малы при энергиях Великого Объединения (около $10^{15}$ ГэВ). Аналогично можно вычислить энергии при которых кварки приобретают свои массы — около 100 ГэВ. В стандартной модели предсказанная масса t-кварка 230 ГэВ, в то время как измеренная равна 174 ГэВ, что говорит о том, что возможно существуют другие Хиггсовские бозоны.

Ссылки

1. Шаблон:Cite doi
2. Шаблон:Cite doi
3. Шаблон:Cite doi
4. Шаблон:Cite doi
5. Шаблон:Cite doi