Майорановский фермион

Шаблон:Информация о частице В физике элементарных частиц майора́новский фермио́н, или фермио́н Майора́ны — фермион, который является своей собственной античастицей. Существование таких частиц было впервые рассмотрено итальянским физиком Этторе Майораной в 1937 году. В экспериментах с полупроводниковыми нанопроволоками наблюдались квазичастицы, обладающие свойствами майорановского фермиона. Экспериментальное обнаружение майорановских частиц как в физике высоких энергий, так и в области физики твёрдого тела приведёт к важным последствиям для науки в целомШаблон:Sfn.

В физике элементарных частиц

Предполагается, что нейтрино может быть либо фермионом Майораны, либо фермионом Дирака (в Стандартной модели все фермионы, включая нейтрино, являются дираковскими). Экспериментального подтверждения этого всё ещё нет, и теория Майораны, в итоге, может оказаться опровергнутойШаблон:Sfn. В первом случае различие между нейтрино и антинейтрино определяется только их спиральностью: превращение нейтрино в антинейтрино можно осуществить переворотом спина (или, например, переходом в систему отсчёта, в которой импульс нейтрино направлен в противоположном направлении, что, правда, осуществимо лишь при ненулевой массе нейтрино). Если электронное нейтрино является фермионом Майораны и при этом массивно, то некоторые изотопы могут испытывать безнейтринный двойной бета-распад; при существующей чувствительности экспериментов этот распад пока не обнаружен, хотя в мире проводятся десятки экспериментов по поиску этого процесса.

Гипотетические частицы нейтралино в суперсимметричных моделях являются фермионами Майораны. Поэтому открытие майорановских фермионов будет дополнительным аргументом для теорий суперсимметрии.

Майорановские частицы, в отличие от дираковских, не могут обладать магнитным дипольным моментом (кроме недиагональных компонент магнитного момента, изменяющих аромат). Слабое взаимодействие с электромагнитными полями делает майорановские фермионы кандидатами для частиц холодной тёмной материи.

16 июля 2013 года коллаборация GERDA сообщила, что в результате обработки данных первой фазы долговременного эксперимента, проводящегося в итальянской подземной лаборатории Гран-Сассо на криогенном полупроводниковом мультидетекторе, состоящем из германия, обогащённого германием-76, не был обнаружен безнейтринный двойной бета-распад этого изотопа (нижнее ограничение на период полураспада — не менее 3·10²⁵ лет). Это, как и ряд более ранних и менее чувствительных экспериментов, свидетельствует в пользу того, что нейтрино не является майорановской частицей; точнее, ограничивает сверху так называемую майорановскую массу электронного нейтрино, которая для дираковского фермиона должна быть в точности равна нулю. Установленное верхнее ограничение равно приблизительно Шаблон:Nobr. В настоящее время ряд как действующих, так и находящихся на стадии планирования и разработки экспериментов по поиску безнейтринного двойного бета-распада нацелен на улучшение инструментальной чувствительности. Последние доступные данные для оценок снизу для полураспада и оценок сверху для массы приведены в таблице на февраль 2023 годаШаблон:Sfn.

Оценка параметров

Эксперимент	Изотоп	Полураспад	Масса
Gerda	76Ge	8,0·1025 лет	0,12—0,26 эВ
Majorana	76Ge	1,9·1025 лет	0,24—0,53 эВ
KamLAND-Zen	136Xe	10,7·1025 лет	0,05—0,16 эВ
EXO	136Xe	1,1·1025 лет	0,17—0,49 эВ
CUORE	130Te	1,5·1025 лет	0,11—0,50 эВ
KamLAND-Zen	136Xe	2,3·1026 лет	0,036—0,156 эВ

Уравнение Дирака

Шаблон:Main Математически, фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

$i\frac{\hslash }{c}{\partial }_t\psi (x,t)=[-i\hslash \mathit{\alpha }\cdot {\mathit{\partial }}_{𝒙}+\beta mc]\psi (x,t),$

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {α_i, α_j} = 2δ_ij, {α_i, β} = 0, β² = 1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

${\alpha }_1=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ {\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ {\sigma }_3& 0\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ {\sigma }_2& 0\end{array}\right),$

благодаря чему в исходном уравнении все коэффициенты получаются мнимыми. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется:

$i\frac{\hslash }{c}{\partial }_t{\psi }^{*}(x,t)=[-i\hslash \mathit{\alpha }\cdot {\mathit{\partial }}_{𝒙}+\beta mc]{\psi }^{*}(x,t).$

Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей (${\psi }^{*}=\psi$) и называется майорановским фермионом. Существует бесконечное множество матриц $\mathit{\alpha }$Шаблон:Sfn.

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но такую систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых (${\psi }_L$) и правых (${\psi }_R$) майорановских фермионов. Причём массы (m_L и m_R) в этих новых частицах не обязательно совпадаютШаблон:Sfn:

$(i{\partial }_t-𝒑\cdot \mathit{\sigma }){\psi }_R-i{m}_R{\sigma }_2{\psi }_R^{*}=0,$

$(i{\partial }_t+𝒑\cdot \mathit{\sigma }){\psi }_L-i{m}_L{\sigma }_2{\psi }_L^{*}=0.$

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия. Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в лагранжиане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теорииШаблон:Sfn. Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей. Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона (m_D), а масса левого составит малую величину порядка $m_D^2/m_R$Шаблон:Sfn.

В физике твёрдого тела

Если в физике высоких энергий вопрос о существовании или несуществовании майорановских фермионов остаётся открытым, то никаких сомнений в существовании в сверхпроводниках аналогичных элементарных возбуждений, предсказанных теоретически, нетШаблон:Sfn. Вопрос заключается в демонстрации каких-либо связанных с ними наблюдаемых эффектов из-за технических сложностейШаблон:Sfn. Некоторые квазичастицы (различные возбуждения коллективных состояний в твердотельных системах, ведущие себя подобно частицам) могут описываться как майорановские фермионы, причём их существует несколько типов в связи с возможностью выбрать размерность системы. В физике твёрдого тела майорановские фермионы также называются майорановскими состояниями, чтобы отличать их от решения трёхмерного уравнения Майораны. Интерес к таким квазичастицам (предсказанным, но пока не открытым экспериментально) связан с тем, что они теоретически могут использоваться в кубитах для топологического квантового компьютера — например, для сохранения информации, — при этом из-за своей нелокальной природы они менее чувствительны к влиянию средыШаблон:Sfn. В одномерных системах говорят не о майорановских фермионах, а о майорановских локализованных состояниях, которые не перемещаются в системе свободно, благодаря чему сохраняют свои свойства из-за большого времени декогеренции. Возможное экспериментальное обнаружениеШаблон:Sfn таких объектов в комбинированных полупроводниковых-сверхпроводниковых наносистемах в сильном магнитном поле требует независимого подтверждения в связи со сложностью детектирования и существованием возможных альтернативных объяснений.

Майорановские фермионы могут существовать в экзотических системах, которые достаточно трудно реализуются на практике, например в p-волновых сверхпроводниках, полупроводниках в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнением 5/2, на поверхности топологических изоляторов с использованием эффекта близости от s-волновых сверхпроводников, либо используя эффект близости между сверхпроводником и ферромагнетиком. С другой стороны, в 2010 году опубликовали две статьи, которые показали, как создать майорановские фермионы в полупроводниковых нанопроволоках.

Игрушечная модель Китаева

Файл:Kitaev chain.svg

Шаблон:Якорь2 Разбиение фермионов (первый ряд) на «полуфермионы» или майорановские фермионы в игрушечной модели Китаева в топологически тривиальном (второй ряд) и топологически нетрививальном (третий ряд) случаяхШаблон:Sfn.

Алексей КитаевШаблон:Sfn предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового p-волнового сверхпроводника в терминах вторичного квантованияШаблон:Sfn

$H_K=\sum _{j=1}^N(-t(a_j^{†}{a}_{j+1}+a_{j+1}^{†}{a}_j)-\mu (a_j^{†}{a}_j-\frac{1}{2})+\mathrm{\Delta }{e}^{i\theta }{a}_j{a}_{j+1}+\mathrm{\Delta }{e}^{-i\theta }{a}_{j+1}^{†}{a}_j^{†}),$

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи $c_{2j-1}=e^{i\theta /2}{a}_j+e^{-i\theta /2}{a}_j^{†}$ и $c_{2j}=-i(e^{i\theta /2}{a}_j-e^{-i\theta /2}{a}_j^{†})$, которые приводят к новому виду гамильтониана

$H_K=\frac{-i}{2}\sum _{j=1}^N\mu c_{2j-1}{c}_{2j}+\frac{i}{2}\sum _{j=1}^{N-1}[(t+\mathrm{\Delta })c_{2j}{c}_{2j+1}+(-t+\mathrm{\Delta })c_{2j-1}{c}_{2j+2}].$

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на рис. 1: в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы $f=1/2(c_1+i{c}_N)$. А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании $d_j=1/2(c_{2j}+i{c}_{2j+1})$, $d_j=1/2(c_{2j}-i{c}_{2j+1})$Шаблон:Sfn:

$H_t=2t\sum _{j=1}^{L-1}(d_j^{†}{d}_j-\frac{1}{2}).$

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные сверхпроводники с триплетным состояниями куперовских пар.

Полупроводниковые нанопроволоки

Файл:Majorana.ogg

Шаблон:Якорь2 Формирование топологического закона дисперсии с использованием ур. 2 при последовательном включении спин-орбитального взаимодействия, сверхпроводимости и приложении магнитного поля

В работах 2010 годаШаблон:SfnШаблон:Sfn наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работеШаблон:Sfn рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

$H=\int {\mathrm{\Psi }}^{†}[(\frac{k^2}{2m}-\mu ){\tau }_z\otimes {\sigma }_0+\alpha k{\tau }_z\otimes {\sigma }_z+{\mathrm{\Delta }}_Z{\tau }_0\otimes {\sigma }_x+{\mathrm{\Delta }}_{sc}{\tau }_x\otimes {\sigma }_0]\mathrm{\Psi }dy,$ (1)

где волновая функция имеет вид ${\mathrm{\Psi }}^{†}=({\psi }_{\uparrow }^{†},{\psi }_{\downarrow }^{†},{\psi }_{\downarrow },-{\psi }_{\uparrow })$. Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y, спин-орбитальное взаимодействие вдоль x, а магнитное поле вдоль z. Матрицы Паули $\sigma$, $\tau$ действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

$E_{\pm }^2={\mathrm{\Delta }}_Z^2+{\mathrm{\Delta }}_{sc}^2+{(\frac{k^2}{2m}-\mu )}^2+(\alpha k{)}^2\pm 2\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_Z^2{\mathrm{\Delta }}_{sc}^2+{(\frac{k^2}{2m}-\mu )}^2((\alpha k{)}^2+{\mathrm{\Delta }}_Z^2)}.$ Шаблон:Якорь2

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона $\mathrm{\Delta }=|{\mathrm{\Delta }}_Z-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_{sc}^2+{\mu }^2}|$. Когда выполняется условие ${\mathrm{\Delta }}_Z>\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_{sc}^2+{\mu }^2}$ говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из уравнения 2 при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида Шаблон:Math приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель ${\mathrm{\Delta }}_{sc}$ в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней ${\mathrm{\Delta }}_Z$, которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве ${\mathrm{\Delta }}_Z={\mathrm{\Delta }}_{sc}$ (химический потенциал $\mu =0$) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимостиШаблон:Sfn.

Модель Фу — Кейна

В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными Лян Фу и Чарльзом Кейном в 2008 годуШаблон:Sfn. Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тонкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) $\mathrm{\Psi }=(({\psi }_{\uparrow },{\psi }_{\downarrow }),({\psi }_{\uparrow }^{†},-{\psi }_{\downarrow }^{†}){)}^T$, где стрелками обозначены проекции спина, а индекс T отвечает за транспонирование, видаШаблон:Sfn

$H=-iv{\tau }^z\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }-\mu I{\tau }^z+{\mathrm{\Delta }}_{0}I({\tau }^x\cos (\varphi )+{\tau }^y\sin (\varphi )),$

где v — скорость электрона на уровне энергии Ферми (фермиевская скорость), I — единичная матрица, σ=(σ^x,σ^y) — двумерный вектор составленный из матриц Паули, действующие на спиновые состояния, τ^x и τ^y — матрицы Паули действующие на пары $\psi$ и ${\psi }^{†}$, смешивая их между собой, μ — химический потенциал, Δ₀ — параметр порядка сверхпроводника. Блочная часть гамильтониана $H_0=-iv\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }-\mu I$ — это гамильтониан для квазичастиц возникающий на поверхности топологического изолятора. Куперовские пары из сверхпроводника из-за эффекта близости могут находиться на поверхности топологического изолятора, приводя к эффективному гамильтониану взаимодействию аналогичному сверхпроводнику p-типа, где по теории Китаева существуют майорановские фермионы. Отличие состоит в симметрии этого гамильтониана по отношению к обращению времени, что приводит к дополнительному вырождению. Но используя внешнее магнитное поле ориентированное перпендикулярно поверхности сверхпроводника, которое нарушает симметрию по обращению времени, возможно сформировать сверхпроводящие вихри в рассматриваемой системе. Расчёт показывает, что майорановский фермион возникает в ядре вихряШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья