Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

$(1){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s+{\mathrm{\nabla }}_j{R}_{rki}^s+{\mathrm{\nabla }}_k{R}_{rij}^s=0,$

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку $P$ и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка $P$ произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.

В точке $P$ мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке $P$ имеем

$(2){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s={\partial }_i{R}_{rjk}^s.$

Поскольку

$(3)R_{rjk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^p,$

то в точке $P$ имеем

$(4){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s={\partial }_i{\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s-{\partial }_i{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s.$

Циклически переставляя в (4) индексы $ijk$, получим ещё два равенства:

$(5){\mathrm{\nabla }}_j{R}_{rki}^s={\partial }_j{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ir}^s-{\partial }_j{\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s,$

$(6){\mathrm{\nabla }}_k{R}_{rij}^s={\partial }_k{\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s-{\partial }_k{\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ir}^s.$

Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.

См. также

• Алгебраическое тождество Бьянки