Дифференциальное уравнение Римана

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить Шаблон:Нп3 в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.

Определение

Дифференциальное уравнение Римана определяется как

$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+[\frac{1-\alpha -{\alpha }^{\prime }}{z-a}+\frac{1-\beta -{\beta }^{\prime }}{z-b}+\frac{1-\gamma -{\gamma }^{\prime }}{z-c}]\frac{dw}{dz}$

$+[\frac{\alpha {\alpha }^{\prime }(a-b)(a-c)}{z-a}+\frac{\beta {\beta }^{\prime }(b-c)(b-a)}{z-b}+\frac{\gamma {\gamma }^{\prime }(c-a)(c-b)}{z-c}]\frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0.$

Его регулярными сингулярными точками будут a, b и c. Их степени $\alpha$ и ${\alpha }^{\prime }$, $\beta$ и ${\beta }^{\prime }$, $\gamma$ и ${\gamma }^{\prime }$ соответственно. Они удовлетворяют условию

$\alpha +{\alpha }^{\prime }+\beta +{\beta }^{\prime }+\gamma +{\gamma }^{\prime }=1.$

Решения уравнения

Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана

$w=P\left\{\begin{array}{cccc}a& b& c& \\ \alpha & \beta & \gamma & z\\ {\alpha }^{\prime }& {\beta }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }& \end{array}\right\}$

Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=P\left\{\begin{array}{cccc}0& \mathrm{\infty }& 1& \\ 0& a& 0& z\\ 1-c& b& c-a-b& \end{array}\right\}$

P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение

$P\left\{\begin{array}{cccc}a& b& c& \\ \alpha & \beta & \gamma & z\\ {\alpha }^{\prime }& {\beta }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }& \end{array}\right\}={\left(\frac{z-a}{z-b}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{z-c}{z-b}\right)}^{\gamma }P\left\{\begin{array}{cccc}0& \mathrm{\infty }& 1& \\ 0& \alpha +\beta +\gamma & 0& \frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}\\ {\alpha }^{\prime }-\alpha & \alpha +{\beta }^{\prime }+\gamma & {\gamma }^{\prime }-\gamma & \end{array}\right\}$

позволяет записать решение уравнения в виде

$w={\left(\frac{z-a}{z-b}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{z-c}{z-b}\right)}^{\gamma }{}_2{F}_1(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +{\beta }^{\prime }+\gamma ;1+\alpha -{\alpha }^{\prime };\frac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)})$

Преобразование Мёбиуса

P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса, то есть по отношению к группе GL(2, C) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана. Произвольно выбранные четыре комплексных числа A, B, C и D, удовлетворяющие условию $AD-BC\ne 0$, определяют соотношения

$u=\frac{Az+B}{Cz+D}\text{ and }\eta =\frac{Aa+B}{Ca+D}$и

$\zeta =\frac{Ab+B}{Cb+D}\text{ and }\theta =\frac{Ac+B}{Cc+D}.$

Тогда будет справедливым равенство

$P\left\{\begin{array}{cccc}a& b& c& \\ \alpha & \beta & \gamma & z\\ {\alpha }^{\prime }& {\beta }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }& \end{array}\right\}=P\left\{\begin{array}{cccc}\eta & \zeta & \theta & \\ \alpha & \beta & \gamma & u\\ {\alpha }^{\prime }& {\beta }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }& \end{array}\right\}$

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)
  • Chapter 15 Hypergeometric Functions
    • Section 15.6 Riemann’s Differential Equation