Метод конечных объёмов

Метод конечных объёмов (в русскоязычной литературе метод контрольных объёмов) — численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Описание

Неформальное

Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определённым законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины $\varphi$, в каждой точке $O(x,y,z,t)$ пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объёмом, в момент времени $t$ существует следующая зависимость: общее количество величины $\varphi$ в объёме может изменяться за счет следующих факторов:

• транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объём — поток;
• генерация (уничтожение) некоторого количества величины $\varphi$ внутри контрольного объёма — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объёме.

Математическое

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐔\phi )-\mathrm{\nabla }\cdot (D_{\phi }\mathrm{\nabla }\phi )+\phi =S_{\phi }$,

где:

• $\frac{\partial \phi }{\partial t}$ — скорость изменения некоторой физической величины $\phi$,
• $\phi$ — реактивное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\phi$,
• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐔\phi )$ — конвективное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\phi$,
• $\mathrm{\nabla }\cdot (D_{\phi }\mathrm{\nabla }\phi )$ — диффузное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\phi$,
• $S_{\phi }$ — источниковое слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\phi$.

Применение

Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM, а также коммерческих кодах, таких как: ANSYS, Comsol (англ.), FlowVision.

Модификации

• Метод Годунова

Литература

• Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ, Научно технические ведомости СПбГПУ, 2’ 2004
• Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах = Computation of conduction and Duct Flow Heat Transfer: Пер. с англ. — М.: Издательство МЭИ, 2003. — 312 с.

См. также

• Механика сплошных сред
• Метод объёма жидкости